Re: [幾何] 一題幾何和數列

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《imtpp (tpp)》之銘言：
: 1. http://imgur.com/a/lr9wE
: 2. http://imgur.com/a/Zi2Bl
: 代po
: 想知道詳解，謝謝。

我來試試看第一題(已完成)
而且我用的方法不嚴謹又暴力...


為了方便說明 設O(0, 0), A(1, 0), B(0, √3)
假設內接三角形的意思是 OA, OB, AB上各取一點
(不然我可以三點都取在某一角附近 最大邊就能無限縮小)

先任意固定 斜邊AB上一點C(x, y), 0 < x < 1, y = √3(1-x)
往另外兩邊畫垂足D(x, 0), E(0, y)

(1) 0 < x <= 3/5
這個時候CD > CE
可以在 OB 上找到一點 E'
使得 CD = DE' 且 DE' >= E'C

因此CD本身是這個三角形的最長邊
由於CD垂直OA 所以D點移動肯定會增加CD的長度
因此CD長度就是最大邊的最小值

而顯然在這個情況的所有x中 最短的是 x = 3/5 的時候
這個情況滿足CDE'是個正三角形 邊長為 2√3/5 = 0.6928

(2) 2/3 <= x < 1
這個時候CE > CD
用跟上面一樣的方法 在 OA 上找到一點 D' (剩下省略)

得到這時候最大邊的最小值發生在 x = 2/3 的時候
這個情況滿足CD'E是個正三角形 邊長為 2/3 = 0.6666


所以我們把情況壓縮到 3/5 < x < 2/3 (以及 x = 3/5, 2/3)
這個時候 CD 和 CE 都無法成為最大邊的最小值
(因為滿足這個條件的三角形畫不出來)
最大邊的最小值情況 一定是CD'E'

接著我想要先證明 在固定C點且 3/5 < x < 2/3 前提下

(claim 1) 最大邊 a 一定成對 變成等腰三角形
(pf) 如果不是的話 會有一邊 b 比它小
現在移動 a 不是C的一個端點 讓 a 變小一點點 但又不會被 b 超過
(這辦的到 因為 a 不會是唯二無法變小的 CD CE)
我們就得到了更小的 a' (矛盾)

這不是個好證明 因為很多細節沒有(其實是不會)補齊 將就一下...


(claim 2) 最大邊 a = b 只能是正三角形
(pf) 分成兩個case
     (1) 最大邊是 CD', CE'
         把D'點往D移動一點(E'也是)
         讓CD'和CE'變小一點 又不被D'E'超過
         就得到更短的CD'和CE' (矛盾)
     (2) 最大邊是 CD', D'E'
         E'不會是O點(不然CO肯定是唯一最長邊)
         把D'點往D移動一點 E'會跟著往O點移動一些
         讓CD'和D'E'變小一點 又不被D'E'超過
         就得到更短的CD'和D'E' (矛盾)


總之我們用了不好的證明

證出了如果CD'E'要有最大邊的最小值 那一定要是正三角形
而且斜邊上的C(x, y) 滿足 3/5 <= x <= 2/3

然後我就做不出來了(三小) 有人能幫忙補上嗎qw q

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剛才做出 設三角形重心G 則 √3 OG = OC
但是我們要求的邊長是 √3 GC (趴)

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啊 是我蠢 我的變數用錯了...qw q

設C(x, y) D'(m, 0) E'(0, n), y = √3(1-x)

現在不以x為基本變數了 根本算不出來 以m為基本變數
D'E'中點M(m/2, n/2), C點(m/2 + √3n/2, n/2 + √3m/2)
滿足 n/2 + √3m/2 = √3(1 - m/2 - √3n/2) = √3 - √3m/2 - 3n/2
因此 2n + √3m = √3

正三角形邊長 a
a^2 = (m^2 + n^2) >= (2n + √3m)^2 / (4 + 3) = 3/7

a 有最小值 √(3/7) = 0.655


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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.105
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※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 12/25/2016 17:04:08
→ ZO20        : gsp畫出來大約是0.655
推 Vulpix      : (3/7)^0.5  坐標系都建了，就設正三角形邊長硬算吧
※ 編輯: Desperato (117.19.3.154), 12/26/2016 22:53:12
→ Desperato   : 感謝信心加持(?
→ yyc2008     : 請問C點(m/2 + √3n/2, n/2 + √3m/2)為何和mn有關?
→ yyc2008     : D'E'C不是互相獨立的嗎?
→ cuttlefish  : 已知正三角形兩點座標 可以得出第三點
→ yyc2008     : 怎麼得出第三點?D'E'在最初設定不是任意的兩點嗎?
→ yyc2008     : Desperato有假設CD'E'有滿足什麼形狀嗎?
→ cuttlefish  : 他當正三角形來算的
→ yyc2008     : 了解 謝謝