Re: [中學] 國中數學

[LPH66 (アルターエゴ)]

※ 引述《chemist (analysis)》之銘言：
: http://i.imgur.com/c606wMQ.jpg
: http://i.imgur.com/ACbOFtv.jpg
: 麻煩了，拜託！
連 AD, BD, 由畢氏定理有

AC^2 + CD^2 = AD^2
CD^2 + BC^2 = BD^2
AD^2 + BD^2 = AB^2  (←注意到弧 ADB 是半圓弧, 故角 ADB 為直角)

三式相加消去 AD^2, BD^2 得

AC^2 + 2CD^2 + BC^2 = AB^2

2CD^2 = AB^2 - AC^2 - BC^2

兩邊同乘π/4, 左邊是 (π CD^2)/2 為 CD 半徑圓面積的一半

右邊是 π(AB/2)^2 - π(AC/2)^2 - π(BC/2)^2 為斜線面積的兩倍

所以比例為 1:4

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  'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
  'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
  'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
                               -- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1482663647.A.E63.html
→ sendicmimic : 這題很直觀，假設一下就全出來了，但原PO想要簡潔
→ sendicmimic : L版友寫法看起來較簡潔，可是想法很不直接，
→ sendicmimic : 還用三元二次式表示CD^2，天外飛來π/4湊回去
→ sendicmimic : 我覺得國中生應該不必搞到這麼難
→ sendicmimic : 要求CD^2只要連結OD利用商高定理就好了。
→ sendicmimic : 在想原PO是想要例如內冪外冪性質之流的直接比出來
推 someone     : 若AD=2a,BD=2b,CD=c,則大圓面積為pi（a+b)^2,而CD^2
→ someone     : 。
→ someone     : 斜線面積為（a+b)^2-a^2-b^2=ab
→ someone     : CD^2=4ab,pi就不打了。
→ LPH66       : 我的觀點是, 題目的所有面積都和已知的線段平方有關
→ LPH66       : 所以為了把這些平方關連在一起才利用直角和畢氏
→ LPH66       : 這三條平方和就是這樣寫出來的
→ LPH66       : 然後之所以「飛來」π/4 就是在湊已知面積
→ LPH66       : 移項也是因為這樣才移的, 而不只是為了求 CD^2
→ LPH66       : 我是認為這樣的做法比較接近中學生程度的思考邏輯
→ LPH66       : 不然令代數式其實算是滿抽象的做法
→ LPH66       : 簡言之, 這做法的思路是 面積→線段平方→畢氏→
→ LPH66       : 平方關係式→回到面積, 將關係式變形湊式子
→ LPH66       : 只是一開始從面積出發那段沒寫出來而已
推 chemist     : 感謝各位