Re: [幾何] 一題幾何和數列

[cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)]

※ 引述《Desperato (Farewell)》之銘言：
: ※ 引述《imtpp (tpp)》之銘言：
: : 1. http://imgur.com/a/lr9wE
: : 2. http://imgur.com/a/Zi2Bl
: : 代po
: : 想知道詳解，謝謝。
: --------------------------------------------------
: 啊 是我蠢 我的變數用錯了...qw q
: 設C(x, y) D'(m, 0) E'(0, n), y = √3(1-x)
: 現在不以x為基本變數了 根本算不出來 以m為基本變數
: D'E'中點M(m/2, n/2), C點(m/2 + √3n/2, n/2 + √3m/2)
: 滿足 n/2 + √3m/2 = √3(1 - m/2 - √3n/2) = √3 - √3m/2 - 3n/2
: 因此 2n + √3m = √3
: 正三角形邊長 a
: a^2 = (m^2 + n^2) >= (2n + √3m)^2 / (4 + 3) = 3/7
: a 有最小值 √(3/7) = 0.655
借用,
CD^2 = (x-m)^2 + 3(1-x)^2, DE^2 = m^2 + n^2, CE^2 = x^2 + [√3(1-x)-n]^2
顯然解不是在邊界, 所以0<x, m, n<1
固定x, m之下, 我們可以移動n使得 max{DE^2, CE^2}最小
注意到DE^2和CE^2為兩個開口向上之拋物線,所以要使max{DE^2, CE^2}最小
必在兩個拋物線的交點上, 即n使得DE^2 = CE^2
同理, 固定x, n之下可以得出CD^2 = DE^2
所以CDE應為正三角形, 剩下的步驟就和Desperato寫的一樣

第二題
                              k
|b_k - b_{k+1}| = 1/k(k+1) | Σ i(a_i - a_{i+1} |
                             i=1

                             k
                <= 1/k(k+1) Σ i |a_i - a_{i+1}|
                            i=1

     2003                   2003  k
所以 Σ |b_k - b_{k+1}| <=  Σ   Σ  i/k(k+1) * |a_i - a_{i+1}|
     k=1                    k=1  i=1

                            2003 2003
                        <=  Σ   Σ  i/k(k+1) * |a_i - a_{i+1}|
                            i=1  k=i

                           2003
                        =  Σ  |a_i - a_{i+1}| (1 - i/2004)
                           i=1

                           2003
                        <= Σ  |a_i - a_{i+1}| (1 - 1/2004)
                           i=1

                        = 2004* 2003/2004

                        = 2003

"=" iff |a_1 - a_2| = 2004 and |a_2 - a_3| = |a_3 - a_4| = ... = 0


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→ yyc2008     : 強！
推 yyc2008     : 怎麼想到a_1+..a_k-ka_{k+1}=Σi(a_i-a_{i+1})?
→ yyc2008     : 可以提供一下思路嗎?
→ cuttlefish  : 想用|a+b| <= |a| + |b| 所以想弄出a_i - a_{i+1}
→ yyc2008     : 嗯,謝謝,可是想到這樣配實在很強
推 Desperato   : 拋物線感覺很厲害
→ Desperato   : 第二個還在想