Re: [中學] 長得有點像特徵型式的矩陣

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《BanPeeBan (踢屁屁)》之銘言：
: 直接上圖
: http://i.imgur.com/Wm3YegQ.png
: 想過用特徵函數去反推
: 不過因為是2*2不是1*1 腦袋就打結了@@

det(A - λI) = 0 => λ = 2, 5

A = Q^(-1) D[2,5] Q

Q你應該要會求

A^(n+1) - 2A^n = α[A - 2I]

=> D[2^(n+1) - 2*2^n, 5^(n+1) - 2*5^n] = αD[0, 3]

=> α = 5^n

A^(n+1) - 5A^n = β[A - 5I]

=> D[2^(n+1) - 5*2^n, 5^(n+1) - 5*5^n] = βD[-3, 0]

=> β = 2^n

A^n = Q^(-1)D[2^n, 5^n]Q


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.56.10.112
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1482823868.A.724.html
推 BanPeeBan   : 十分感謝大大!
→ Honor1984   : 另外(2)題 也可由[第1式-第2式]/3 得到 A^n
→ OppOops     : 如果只求(1)題可以不用對角化, 知道特徵值是2, 5
→ OppOops     : 還是可求 α, β
→ Honor1984   : 特徵值不就是對角化的方法？
→ Honor1984   : 如果第一題可以不用對角化 第二題更不需要
→ Honor1984   : OppOops發一篇吧 我也想知道其他作法
→ OppOops     : 所以我是"只"求第一題, 第二題還是要對角化..
→ OppOops     : 第二題就是要乘開的形式, 不對角化就遞回關係求解吧
推 cuttlefish  : 用Cayley-Hamilton Thm: (A-2I)(A-5I)=0 所以
→ Honor1984   : 你可以發一篇第一小題的作法 然後我幫你補第二小題
→ Honor1984   : 不需要用到對角化
→ cuttlefish  : A(A-2I) = 5(A-2I) 然後用這個化簡左邊
→ cuttlefish  : LHS = A^n (A-2I) = 5A^(n-1) (A-2I) = ...
→ Honor1984   : 原來是這樣,謝謝cuttlefish
→ cuttlefish  : 不過這題也用不到Q 所以沒差我覺得
→ Honor1984   : 感謝  我繼續補完這個做法
補完cuttlefish板友的做法

(A - 5I)(A - 2I) = 0

=> A(A - 2I) = 5(A - 2I)

所以A^(n + 1) - 2A^n = A^n (A - 2I)

                     = A^(n - 1) [5(A - 2I)] = ...

                     = 5^n (A - 2I)  => α = 5^n


同理A^(n + 1) - 5A^n = A^n (A - 5I)

                     = A^(n - 1) 2(A - 5I)

                     = 2^n (A - 5I) => β = 2^n


第一式 - 第二式：

3A^n = [5^n - 2^n]A + [-2 * 5^n + 5 * 2^n]I

=> A^n = {[5^n - 2^n] / 3}A + {[-2 * 5^n + 5 * 2^n] / 3}I

感謝cuttlefish板友的作法
※ 編輯: Honor1984 (61.56.10.112), 12/27/2016 16:47:09
→ OppOops     : 原來如此, 確實很清楚, 感謝