Re: [中學] 長得有點像特徵型式的矩陣

[OppOops (Oops)]

※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《BanPeeBan (踢屁屁)》之銘言：
: : 直接上圖
: : http://i.imgur.com/Wm3YegQ.png
: : 想過用特徵函數去反推
: : 不過因為是2*2不是1*1 腦袋就打結了@@
: det(A - λI) = 0 => λ = 2, 5
: A = Q^(-1) D[2,5] Q
: Q你應該要會求
: A^(n+1) - 2A^n = α[A - 2I]
: => D[2^(n+1) - 2*2^n, 5^(n+1) - 2*5^n] = αD[0, 3]
: => α = 5^n
: A^(n+1) - 5A^n = β[A - 5I]
: => D[2^(n+1) - 5*2^n, 5^(n+1) - 5*5^n] = βD[-3, 0]
: => β = 2^n
: A^n = Q^(-1)D[2^n, 5^n]Q

賺個P幣,

A-2I = [ u1 u2 ]
A-5I = [ v1 v2 ]

由第一式,

A^n * [ u1 u2 ] = α [ u1 u2 ]

得 A^n * u1 = α*u1, 並且 u1 = c1 * u2 = u

同理, A^n * v1 = β*v1, 並且 v1 = c2 * v2 = v


所以 u,v 是 A^n 的特徵向量, α,β為其特徵值

又 A^n * u = A^(n-1) * (A * u)
           = A^(n-2) * A * (λu)
           = (λ^n) * u

對所有A特徵值為λ, 向量u成立

所以得α=5^n, β=2^n


Remark: 看起來由cuttlefish所說, 用Cayley-Hamilton Thm:(A-2I)(A-5I)=0,

似乎都可以拆, 不過代數重數為2以上不清楚應該怎麼拆(?)

如果這個題目不能對角化, 可能要算Jordan Form才能得到A^n一般式

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.90.226
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1482828533.A.181.html
→ Honor1984   : u_1 = 2u_2, v_1 = -v_2
推 Honor1984   : 這個做法是純高中生沒有學過理論可以使用的
修正一下, 感謝

→ OppOops     : 所以不會相等... 沒實際帶數字算, 不過都差個倍數
※ 編輯: OppOops (140.112.90.226), 12/27/2016 16:59:08
→ OppOops     : 原來數學版前人有討論過相關問題了, 去看看
→ Honor1984   : OK,謝謝 待會去看
→ OppOops     : 搜尋/ 矩陣高次方跟向量的乘積
→ Honor1984   : 感謝