Re: [機統] 基本機率事件 - 交大電子所乙組

[cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)]

※ 引述《martine318 ()》之銘言：
:   Two gamblers play the game of "head or tails" . Each time a coin lands
:   heads up , then player A wins $1 from B ; otherwise (i.e. a coin lands
:   tails up) , player B wins $1 from A . Suppose that player A initially has
:   a dollars and player B has b dollars.
:   (b)If the game is not fair and on each play , player A wins $1 from B
:   with probability p , p is not 1/2 , 0 < p < 1 . What is the probability that
:   player A will be ruined?
:   解答 : A贏1$的機率為p，B贏1$的機率為q = 1-p，則
:   A輸光的機率 = Pa = [1 - (q/p)^a] / [1 - (q/p)^a+b)]
:   --------------------------------------------------------------
:   (a)小題問A輸光的機率，答案是b/a+b，因為可以理解所以沒問這題
:   (b)小題中 想知道為何有(q/p)^a 以及(q/p)^a+b
:      道底是套甚麼式子?? 謝謝!!
P(i) = Prob{ A 最後輸掉(Ruin) | A有i元 }
記N = a+b, 所以由定義P(0)=1, P(N)=0.
且由機率可寫出遞迴式 P(i) = p*P(i+1)          + q*P(i-1)
                            ^^^^^^^^下一回A贏   ^^^^^^^^下一回A輸
所以 P(i+1)-P(i) = (q/p) [P(i)-P(i-1)] = ... = (q/p)^i [P(1) - P(0)]
解P(1) 利用P(0)=1, P(N)=0
P(n) = [P(n) - P(n-1)] + [P(n-1) - P(n-2)] + ... + [P(1) - P(0)] + P(0)
     = [(q/p)^{n-1} + (q/p)^{n-2} + ... + 1] * [P(1) - 1] + 1
     = [(q/p)^n - 1]*[P(1) - 1] / [(q/p) - 1] + 1
且 0 = P(N) = [(q/p)^N - 1]*[P(1) - 1] / [(q/p) - 1] + 1 ...(*)
(*)可解出P(1) - 1, 而所求 = P(a) = 1 - [1 - (q/p)^a] / [1 - (q/p)^{a+b}]

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推 yyc2008     : 可以解釋一下為什麼P(a+b)=1嗎?
→ yyc2008     : 我是看成當A只有0元當然輸,所以P(0)=1
改一下 的確寫錯了
→ doom8199    : 原po應該是算成贏的機率, 而且最後一行的分母次方
→ doom8199    : 是 N, 不能寫 a+b
我假設N=a+b 只是因為我不想一值寫a+b, 其實應該是一樣的吧?
推 martine318  : 感謝 太強了
※ 編輯: cuttlefish (97.99.68.240), 12/28/2016 04:53:20
推 doom8199    : 若是要寫 a+b 的話, 我會假設 P(a,b); 寫 P(a) 容易
→ doom8199    : 讓讀者忽略前因，而直接使用結果, 例如 P(a) 代 a=0
→ doom8199    : 但b忘了做相對應的取代
→ cuttlefish  : 因為我想成a, b是常數