Re: [微積] 有比較基礎的做法嗎？

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《wohtp (會喵喵叫的大叔)》之銘言：
:   ∞      1         1 + bx + x^2
:  ∫  dx  ---  log{-----------------}
:   0       x         1 - bx + x^2
:                                1
:        =  -π{ arctan[ sqrt( ----- - 1 )] - π }
:                               b^2
: 我想到三種不同的做法，可是都需要各種複變繞pole挑branch再從無限遠
: 處兜回來什麼的。每一步都需要justification，煩死了。
: 請問板友們可以想到基礎一點的作法嗎？
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    先確認瑕點，以確認 b 的範圍使得該瑕積分存在

    (這邊可得到 b^2 < 4 , 細節請自行補完, 然後檢查一下您哪邊算錯)


    ∞ log[(1+bx+x^2) / (1-bx+x^2) ]
   ∫  ─────────────── dx
    0                x

    ∞  1        b       x
 = ∫  ── * { ∫  ────── dt }  dx
    0   x        -b 1 + xt + x^2

    b   ∞       1
 = ∫  ∫   ────── dx dt   by Fubini's thm.
    -b  0   1 + xt + x^2

                              -1
    b          π        2 tan [t/√(4 - t^2)]
 = ∫  {  ────── - ────────── } dt
    -b    √(4 - t^2)         √(4 - t^2)

         ^^^^^^^^^^^^^   ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
             (1)                   (2)


                                         -1
  被積函數 (1) 很簡單, 積完結果是 2π*sin (b/2)


  (2) 乍看之下很複雜, 但觀察到它是奇函數，所以 ...


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→ wohtp       : 咦我算錯了？可是我帶了兩個值都是對的...
→ doom8199    : ...一般人反應應該是說 "抱歉我題目打錯了"
→ doom8199    : 一開始給的題目答案有誤，而且看你原文用複變似乎
→ doom8199    : 很繁瑣，所以才先懷疑計算過程哪邊有問題
推 wohtp       : 是題目和答案都打錯了，感謝
→ doom8199    : 其實你只要把 b 換成 2b, 最後的答案就是你要的
→ doom8199    : 然後這篇只有處理 b^2<4 , 但是要考慮到邊界部分
→ doom8199    : 例如 b=2 , 那瑕積分要先拆成 (0,1) & (1,∞)
→ doom8199    : 才能繼續算下去, 這點你用複變解也是要考慮