※ 引述《wohtp (會喵喵叫的大叔)》之銘言：
: ∞ 1 1 + bx + x^2
: ∫ dx --- log{-----------------}
: 0 x 1 - bx + x^2
: 1
: = -π{ arctan[ sqrt( ----- - 1 )] - π }
: b^2
: 我想到三種不同的做法，可是都需要各種複變繞pole挑branch再從無限遠
: 處兜回來什麼的。每一步都需要justification，煩死了。
: 請問板友們可以想到基礎一點的作法嗎？
把推文的作法寫完。
∞ 1 1 + bx + x^2
令I(b) = ∫ dx --- log{-----------------}
0 x 1 - bx + x^2
∞ 1 1
則I'(b) = ∫ dx { ---------------- + ---------------- }
0 1 + bx + x^2 1 - bx + x^2
2 π -1 b
= -----------*{ ---- - tan ----------- }
√(4-b^2) 2 √(4-b^2)
2 π -1 -b
+ -----------*{ ---- - tan ----------- }
√(4-b^2) 2 √(4-b^2)
2π
= -----------
√(4-b^2)
最後也是只要積分這個簡單的函數，還有用上I(0)=0，得到
-1
I(b) = 2πsin (b/2)
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