※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: 標題: Re: [分析] 極限/數列/機率
: 時間: Tue Dec 27 07:19:00 2016
:
: ※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言：
: : Let
: : M n n
: : a_n = Σ | Π x_{ik} - Π y_{ik} |
: : ik=1 k=1 k=1
: : k=1,..n
: : where
: : M M
: : Σ x_i = Σ y_i = 1 , x_i, y_i >= 0.
: : i=1 i=1
: : For instance,
: : M
: : a_1 = Σ | x_{i1} - y_{i1} | ,
: : i1=1
: : a_2 = Σ Σ | x_{i1} x_{i2} - y_{i1} y_{i2} | .
: : i1 i2
: : Prove or disprove that
: : For all ε>0, there exist δ>0
: : such that sup_n a_n < ε if a_1 < δ.
:
: 假設已經找到δ<1
: let x_1 = 1, y_1 = 1-δ/3, y_2 = δ/3, 其他x, y皆為0
: 滿足 Σ x_i = Σ y_i = 1, x_i, y_i非負且a_1 < δ
:
: 則a_n >= |x_1^n - y_1^n| = 1 - (1-δ/3)^n 趨近於1
: 表示ε<1 時不可能有sup_n a_n < ε
:
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: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 97.99.68.240
: ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1482794343.A.3A2.html
: → GSXSP : Tks! 很清楚! Sry, 再加一個條件：x, y same suppor 12/28 23:36
: → GSXSP : t: xi > 0 then yi>0 vice versa. 這樣呢？ 12/28 23:36
: → GSXSP : (或直接一個, all strict positive) 12/29 04:16
: → GSXSP : 直接一點 12/29 04:16
好像還是錯的
(i) f(x) := (1 - x/2)^{3/x} on (0, 2] so f -> e^{-3/2} as x -> 0
let δ0 such that for 0 < x < δ0 we have f(x) > e^{-3/2}/2
(ii) For ε = min{e^{-3/2}/2, δ0}, if there is δ>0 such that
sup a_n < ε whenever a_1 < δ. Clearly, δ<=ε.
Choose x_1 = 1 - δ/6, x_2 = x_3 = ... = x_M = (1-x_1) / (M-1)
y_1 = 1 - δ/2, y_2 = y_3 = ... = y_M = (1-y_1) / (M-1), and n such that
n >= 3/δ > n-1. Then
a_n >= |x_1^n - y_1^n| = (1 - δ/2 + δ/3)^n - (1 - δ/2)^n
> nδ/3 * (1 - δ/2)^{n-1} >= (1 - δ/2)^{3/δ} = f(δ) > e^{-3/2}/2 >= ε
a contradiction.
p.s. lim sup a_n < ε 會不會對我就不知道了(感覺有機會?)
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