Re: [其他] 連乘求極限

[RicciCurvatu (黎奇曲率5566)]

※ 引述《OppOops (Oops)》之銘言：
: 有一個題目是這樣描述:
: A_k,B_k分別是a_i, b_i的連乘, 並且每次項數增長一倍,
: A_k+1的後半段是由B_k每項位移2^(k+2)後連乘, 同理,
: B_k+1的後半段是由A_k每項位移2^(k+2)後連乘:
: A_0 = 2*3                B_0 = 1*4
: A_1 = 2*3*5*8 = Πai     B_1 = 1*4*6*7 = Πbi
: A_2 = A_1 * (b1+8)(b2+8)(b3+8)(b4+8)
: = A_1 * (1+8)*(4+8)*(6+8)*(7+8)
: B_2 = B_1 * (a1+8)(a2+8)(a3+8)(b4+8)
: = B_1 * (2+8)*(3+8)*(5+8)*(8+8)
: 所以一般式為:
: 2^k
: A_k = A_k-1 * Π (bi + 2^(k+1))
: i=1
: 2^k
: B_k = B_k-1 * Π (ai + 2^(k+1))
: i=1
: 試求 C_k = A_k / B_k, 當 k->∞, lim C_k 為何.
: 我已經算出來的部分是 A_k * B_k = n! ,  n = 2^(k+1)
: 試著用stirling之類的估計upper bound, lower bound
: 都沒辦法得到有意義的結果, 範圍都是0到正無限大
: 想請問版上大神有沒有想法或Hint可以給我, 謝謝各位.
: (有說法會趨近於1, 但不能確定)

觀察一下乘數裡的奇偶數分佈，

令A=a奇相乘*a偶相乘 B=b奇相乘*b偶相乘
不難發現 a奇+1=b偶
a偶-1=b奇

所以A=(b偶-1)相乘*(b奇+1)相乘
A/B=1+1/(b奇相乘)-1/(b偶相乘)-1/B
顯然趨於1



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→ OppOops     : A的展開怪怪的, A你寫相乘的意思實際是"連乘"
→ OppOops     : 看你的A分配律展開是只有2項的狀況,但這邊有2^k+1項
→ OppOops     : 目前我的估計是sqrt(2), 但還沒證完.
→ OppOops     : 算前面64個分數ai/bi, 收斂速度很快
→ OppOops     : 而後面增加項趨近於1, 所以我傾向目前是sqrt(2)
→ RicciCurvatu: 是我理解題目有錯嗎? 我這裡是全部奇數項的意思，並
→ RicciCurvatu: 不是只有兩項
→ RicciCurvatu: 例如A1=2*3*5*8 奇數項就是3,5 同理B1的偶數項為 4,
→ RicciCurvatu: 6 符合我觀察的關係
→ OppOops     : Π(b偶-1)(b奇+1) 不會等於
→ OppOops     : [Πb偶Πb奇] + [Πb偶] - [Πb奇]  - 1
→ OppOops     : 你的觀察是對的, 因為我也有這樣算
→ RicciCurvatu: 對剛剛想到了
→ RicciCurvatu: 看來可能還是要用積分估計