[分析] 證明bounded set可被box包住

[iamokay (藍波大人)]

大家好

目前在自修Rudin，然後在2.41 Theorem碰到一個問題，作者說bounded set可被
k-cell包住

因為是歐氏空間，用幾何圖象的方式，這是蠻容易理解的，但它的文字證明
卻不知該如何寫出，特別是R^k的狀況

若S為R^k的bounded subset，則存在開球B(中心t,半徑r)包含S

我不知該如何得到

存在[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×...[a_k,b_k]包含B(t,r)

的結果

請問接下來該怎麼寫比較好?謝謝

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→ Vulpix      : a_i=t-r, b_i=t+r 就可以了^^
→ iamokay     : 沒錯，用球的外切正方體顯然成立，但我似乎得補上
→ iamokay     : 一些文字敘述
→ iamokay     : 應該是弄出來了，稍後附上，看板友有沒有比較簡潔但
→ iamokay     : 也不會被扣分的敘述，因為我的感覺有點畫蛇添足。
首先請自行證明bounded意味著可被中心在原點的開球B(O,L)包住
(這邊我是用三角不等式)

然後請證明這個開球被它的外切正方體[-L,L]^n包住
(這邊我是用反證法)

在球裡面任取一點x=(x_1,x_2...x_n)

假設x的coordinates至少有一個(稱為x_0)滿足|x_0|>L

|x|≧sqrt[(x_0)^2]=|x_0|>L

這跟"x在球裡面"矛盾

接下來就沒什麼好說了
※ 編輯: iamokay (123.193.88.184), 01/01/2017 16:55:38
推 Vulpix      : |x-t|<r => |x_i-t_i|≦|x-t|<r  這個只要展開|x-t|
→ Vulpix      : 就可以知道了。
→ Vulpix      : 還看不出來的話就寫成 t_i-r < x_i < t_i+r
謝謝，我對處理t的coordinates顧慮太多了，先前的做法實在拐彎抹角。
※ 編輯: iamokay (123.193.88.184), 01/02/2017 12:04:33