[機統]聯合常態pdf獨立性的證明?

[ck6fuz516 (不是一就是二)]

假設

X~N(μ1,σ1),Y~N(μ2,σ2)

S=aX+bY,T=cX+dY

只要cov(S,T)=0

則S和T獨立
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以上問題小弟想了很久還是不知道要怎麼證明?

一開始我是想只要證明

S和T的聯合p.d.f是二元常態分配

再套用cov(S,T)=0,就可以把聯合p.d.f

拆成S的函數和T的函數相乘

就說明了S和T獨立

但後來發現S和T的聯合p.d.f未必是二元常態分配

因此此路不通

求高手證明,謝謝





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推 thumbg75446 : Jacobian
→ mp19990920  : 若X⊥Y，則S跟T皆為常態，兩個常態間不相關則獨立
→ ck6fuz516   : 對了~忘了假設X.Y獨立,感謝m大提醒
→ ck6fuz516   : cov=0,未必獨立,但在常態下成立,有相關的證明嗎?謝~
→ mp19990920  : 這最基本的東西隨便哪本教科書都有
→ lyssa       : 我也跟原po有一樣的問題，我不認為他是簡單的
→ lyssa       : 首先回覆 1. Jacobin法的疑問
→ lyssa       : X Y 關係未知，要如何做出 joint pdf 呢
→ lyssa       : 沒有 joint pdf 無法進行二轉一變數變換
→ lyssa       : 2. 如果翻一般的教科書大部分只有提到以下敘述
→ lyssa       : 在二維常態分配中，X Y 邊際必為常態
→ lyssa       : (接續) 若 Cov(X,Y)=0 則 X Y 獨立
→ lyssa       : 這個條件的前提是 X Y joint 要是二維常態分配
→ lyssa       : 更正是 Jacobian 少打一個a
推 s981229     : 結合高斯 不相關可推出獨立
→ s981229     : 證明 把joint pdf相關係數代0 會等於各自pdf相乘
→ ck6fuz516   : 回s大,我和別人討論過了,用變數變換找出s和t的聯合
→ ck6fuz516   : p.d.f後,之後就直接應幹,拆成s的函數和t的函數相乘
→ ck6fuz516   : 說明獨立,過程中沒用到cov=0的條件XD
→ ck6fuz516   : 不知cov=0的條件,出現在哪?請s大指點迷津
推 goshfju     : 用mgf比較好證
→ goshfju     : 只要（X,Y)是二元常態
→ goshfju     : （S,T)就會是二元常態
→ goshfju     : 也就是你命題不夠完整
→ goshfju     : 如果不知道（S,T)的結合分配情形 當然也就無法判斷
→ goshfju     : 會不會獨立
推 goshfju     : X,Y獨立時 結合起來當然會是二元常態 （S,T）也跟
→ goshfju     : 著是二元常態 但其實X,Y獨立非必要 只要結合起來是
→ goshfju     : 二元常態即可
→ ck6fuz516   : 謝謝g大~所以我只需證明(X,Y)是二元常態=>（S,T)
→ ck6fuz516   : 也會是二元常態即可
→ lyssa       : @ck6fuz516 Cov=0 的條件就在 joint(X,Y)中
→ lyssa       : 如同goshfju 所述，不知道(X,Y)的結合關係
→ lyssa       : 是不可能求出 join (X,Y)的
→ lyssa       : joint
→ ck6fuz516   : 謝謝大家的回答~