Re: [機統] 期望值 - 中正電機所

[OppOops (Oops)]

※ 引述《martine318 ()》之銘言：
: ※ 引述《martine318 ()》之銘言：
: :   題目 :
: :   Independent trials , each of which is a success with probability p , are
: :   performed until there are 3 consecutive successes. What is the mean
: :   number of necessary trials.
: :   解答 :
: :   令Nk為連續k次成功所須試驗的平均次數
: :   以下Nk、Nk-1、No的k、k-1、o 均為N的下標
: :   Nk = Nk-1 + 1 + (1-p)Nk 且 No = 0
: :   故
: :   N1 = No + 1 + (1-p)N1 => N1 = 1/p
: :   故
: :   N2 = N1 + 1 + (1-p)N2 => N2 = (1/p) + (1/p^2)
: :   故
: :   N3 = N2 + 1 + (1-p)N2 => N3 = (1/p) + (1/p^2) + (1/p^3)
: :   -------------------------------------------------------------------------
: :   想請問一下
: :   Nk = Nk-1 + 1 + (1-p)Nk 這一項怎麼來的呢
: :   感謝!!
: → OppOops     : 可以用indicator function來解釋                    01/01 23:49
: → OppOops     : 從Nk-1再丟一次確定到, 若是失敗從0開始所以(1-p)Nk  01/01 23:54
:      想請問一下，為什麼失敗從0開始要寫成(1-p)Nk呢
:      謝謝!!

從頭講好了:

Ω = {H, T} 是單獨投擲硬幣的outcome, P({H}) = p, P({T}) = 1-p

連續k次成功的樣本空間 Ω* = Ω x Ω x ... 可以丟到可數無限次, k > 0

直到連續出現k次H ( ...,H,H,H,...H ) 停下來.

隨機變數序列為 {X1, X2, ...}


Problem:

求 Nk = E [ Y ] = E [ Y0 ].

Y  是最先發生連續k次的隨機變數
Yt 是最先發生連續k次的隨機變數, 從t時刻開始觀察 


Solution:

考慮 m 時刻, Xm = T, Xm+1 = H, .... Xm+k-1 = H,

已經經過 k - 1 次連續成功, 並且 {X1,...,Xm} 沒有k次連續成功

因此再考慮以下兩種狀況:

(1) Xm+k = H

   前面已經出現 k-1 次連續成功, 而且再丟一次就滿足條件

   所以 Nk-1 + 1.

(2) Xm+k = T

   這邊連續成功斷掉了, 所以要重新丟, 而每次試驗均是獨立,
   (也就是說前面發生的事件不會影響後面)
   並由(1), 前面已經出現 k - 1次連續成功,
   所以是 Nk-1 + 1 + Nk

由以下兩式

P(Xm+k = H) = p
P(Xm+k = T) = 1-p

得知

Nk = p(Nk-1 + 1) + (1-p)(Nk-1 + 1 + Nk)

   = Nk-1 + 1 + (1-p)Nk



Remark:

(1) Y 是 Ω*的隨機變數, 即為 stopping time

Y = min { m > 0 | Xm+1=H, Xm+2=H, ...Xm+k=H }

(2) 如果 Zt = min { m > 0 | Xm+1=H, Xm+2=H, ...Xm+t=H }

如果 t 表示最早出現連續t次成功, 當t=k, Zk = Y,

剩下的晚點在寫QQ

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1483335312.A.C01.html
推 martine318  : 感謝 高手!!
※ 編輯: OppOops (140.112.90.226), 01/02/2017 17:34:10
→ yyc2008     : 我卡在Nk = p(Nk-1 + 1) + (1-p)(Nk-1 + 1 + Nk)
→ yyc2008     : p(Nk-1 + 1)指的是出現連續k次H就停的總次數中有幾
→ yyc2008     : 次H,但是這麼多次H,有很多事不連續的,把這不連續的
→ yyc2008     : 也算在內然後相加的目的是什麼呢?
→ yyc2008     : 想到了,你在做期望值的動作