[分析] 一題均勻收斂

[znmkhxrw (QQ)]

快一週前在FB數學社團有看到一個問題：

if f_n€C^1[a,b]→R

   f_n→f pointwisely

   │f_n'│<=M for all n, x

then f_n→f uniformly

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試做了幾個方向湊不出來@@

記得有幾個人回應用Mean value theorem 還有人說不能直接對f_n做之類的

總之試不出來XD

再來就是觀察"f_n→f pointwisely"這個前提是需要的 沒有會有反例

只是就不知道要用什麼手法讓"│f_n'│<=M"這個條件影響f_n的均勻收斂性

謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.238.169
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1483376553.A.C1D.html
推 arthurduh1  : 應該是說不能對 f 直接做?用 Cauchy criterion 可解
→ OppOops     : bounded convergence thm + Rudin 7.17 thm
推 arthurduh1  : 首先把區間均勻細分, 用 MVT 可讓 |f_m(x)-f_m(y)|
→ arthurduh1  : (當 x,y 夠靠近)  然後拆成 |f_m(x)-f_m(y_i)| +
→ arthurduh1  : |f_m(y_i)-f_n(y_i)| + |f_n(y_i)-f_n(x)|
→ arthurduh1  : y_i 是細分點
推 arthurduh1  : 上面漏字   *可讓 |f_m(x)-f_m(y)|  均勻地小
→ OppOops     : 對不起我亂講 用樓上的三角不等式就好了
→ znmkhxrw    : 細分點y_i不會跟x有關嗎?? Cauchy是不是沒用到f_n逐
→ znmkhxrw    : 點收斂這個條件??
→ znmkhxrw    : 像是f_n(x)=(-1)^n 他是C^1而且微分恆為0 但是不均
→ znmkhxrw    : 勻收斂因為逐點根本沒收斂了
→ arthurduh1  : 是有關沒錯 但我們只是需要 |x-y_i| 很小
→ arthurduh1  : 逐點收斂用在 |f_m(y_i)-f_n(y_i)| 這項
→ arthurduh1  : 細分點要夠多以讓任意 x 都有 y_i 使 |x-y_i| 夠小
→ arthurduh1  : 然後我們只需找夠大的 m,n
→ arthurduh1  : 讓 y_i 那有限個點 |f_m(y_i)-f_n(y_i)| 都很小
→ arthurduh1  : (應該說限定 m,n 夠大)
→ NNAA        : |f_n'|<=M for all n, x  => equi-continuous
→ NNAA        : equi-continuous + pointwise con => unif conv
謝謝ar跟NN大 ar大就是在處理NN大說的equiconti的部分 看懂了

感謝~
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.235.105), 01/03/2017 15:16:59
→ NNAA        : 一開始沒想到MVT, 因為對 |f_n'|<=M 兩邊積分  =>
→ NNAA        :      |f_n(y)-f_n(x)| <= ∫|f_n'| <=  M|x-y|
→ NNAA        : 所以f_n有equi-conti, 然後按ar大的方法做
對呀 所以f_n€C^1根本是假議題XD 只要可微就好了

只是一開始我不懂ar大的細分點y_i到底怎麼取的

後來用你的關鍵字去google才知道y_i就是從euqicontinuous的delta配上compact取來的

→ arthurduh1  : NN大的第一個=>就是MVT那部分, 我後面那一大串
→ arthurduh1  : 就是第二個=>的證明, 所以基本上是一樣的事XD
對了 網路上有人說domain只要totally bounded就可以了 不需要compact

我run一次證明似乎是這樣 因為他是用delta去取有限個點

這代表如果是R中的open interval也是成立的??

只是看到其他資料都是說 compact

應該totally bdd.就可以了吧@@?
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.235.105), 01/03/2017 16:59:38
→ arthurduh1  : 跟你同樣看法~
→ znmkhxrw    : (^_^)/~~