推 kevinyin9 : 謝謝回覆呦～～ 01/05 18:45
※ 引述《kevinyin9 (kevinyin)》之銘言：
: 請問為什麼只要透過
: 點到邊的三中線（外心）
: 三中垂線連線（重心）
: 點到邊三垂直線（垂心）
: 在任意一個三角形
: 都有辦法找到交點（心）呢？
: 而不會發生http://imgur.com/Fiqp6WC.jpg
: 也就是沒有交點呢？
: 謝謝各位
因為可以證明出來必有交點
1.外心
http://imgur.com/tYLaxXJ
△ABC，作AB、CD的中垂線交於O點
想法：只要O和BC之中點連線會垂直BC，就證明出三中垂線會交於一點
證明：
http://imgur.com/HgP9tdV
性質：中垂線上任一點到兩端等距
故OB=OA=OC，△BOC為等腰三角形，F為BC中點，連接OF
則△BOF全等於△COF(SSS)
對應角相等，故∠BFO=90°
2.重心
http://imgur.com/FeR847C
△ABC，作中線AD、CE交於G點，得出中線長度分為2:1
想法：畫出第三條中線BF，和AD交於G'
若(1)G'也把AD分成2:1，則G和G'是同一點
(2)G'沒有把AD分成2:1，則G和G'不是同一點
證明：
http://imgur.com/GxdkZP4
如圖，G'使得AG':DG'=2:1，故G和G'是同一點
所以三中線會交於同一點G
3.垂心
http://imgur.com/4zsCqyn
△ABC，作AB、AC的高交於H點
想法：若AH直線和BC垂直的話，則三高會交於一點
先注意△BCE為直角三角形
證明：
http://imgur.com/QpDtz7S
因為∠BFC=∠BEC=90°，故BCEF共圓；同理，AEHF共圓
連接EF，在小圓內∠1=∠2(圓周角)
在大圓內∠1=∠3(圓周角)，得∠2=∠3
在△BCE內，∠3+∠BEC+∠C=180°
在△ACD內，∠2+∠ADC+∠C=180°
得∠BEC=∠ADC=90°
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