[代數] 質數無限多個證明

[znmkhxrw (QQ)]

有關質數無限多個的證明 採用反證法的話 一堆資料都採用以下脈絡
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假設質數只有n個 依序排成p_1<p_2<...<p_n

令P=p_1*p_2*...*p_n +1

則發現1.所有質數(p_i,i=1~n)都不整除P

      2.1,P整除P

所以P也是質數 矛盾

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覺得怪怪的地方在於1.2.能直接推論P是質數嗎??

根據定義 要說明P是質數 是要證明P只能被1,P整除

但是"1.所有質數(p_i,i=1~n)都不整除P"沒有直接告訴這點吧??

是否嚴格來說 還要從"所有質數(p_i,i=1~n)都不整除P" 去證明 "P只能被1,P整除"

因此 採用從反證中再使用反證法 假設存在合數N, 2<=N<=P-1 使得N整除P

再來因為N是合數所以N=a*b，而且a,b又只能是合數(若是為某個p_i則矛盾)

但是會沒完沒了a=x*y, x,y又只能是合數 blabla

最後收尾可能是要用2^m會衝到無限大去做矛盾吧

整個變得好麻煩

但是我就覺得沒有那麼顯然@@

(不能用到"對某個合數N，必定存在某個質數整除他"

 應該說 如果這個當已知就結束了 也可以說我證的那串就是這句話的證明)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.173.160.83
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→ DreamYeh    : 你應該看到敘述有錯吧= = 正確敘述是P=p1*p2*..+1
→ DreamYeh    : 若P是質數 那就造出一個更大的質數 若P不是質數則因
→ DreamYeh    : 為他有一個不為P1,P2,...Pn的質因數 因此還是得到一
→ DreamYeh    : 個新質數 因此質數有無限多個
這一樣呀 你寫的"若P不是質數則因為他有一個不為P1,P2,...Pn的質因數"正是我的疑問
不過這一切都可以用樓下Opp大提的那個正整數唯一質因數分解定理解決
難怪大家都直接推論過去了

我再去翻翻書看這個定理的證明會不會以"質數無限個"當已知 不會的話就OK了
謝謝上下兩位!

→ OppOops     : a,b是合數, 且存在唯一分解(按大小),如果分解出來的
→ OppOops     : 質數在p1,...pn中, 矛盾
→ OppOops     : 若分解出來質數不在p1,...pn中, 亦矛盾
→ OppOops     : (這是根據算術基本定理的結果)
→ OppOops     : 所以a,b是1或P, 代表P仍是質數
※ 編輯: znmkhxrw (1.173.160.83), 01/07/2017 01:23:13
→ OppOops     : 上面這行寫錯, 所以不存在 N = a*b
→ OppOops     : 可以分解P
→ lucifiel1618: 志豪看到你記錯，他會很桑勳
→ lucifiel1618: 而且我覺得一樓敘述還是錯的，應該是假設質數有限多
→ lucifiel1618: 個，則可假設最大的質數為Pn，今設P=P1*...*Pn+1
→ lucifiel1618: 則P不可被任意Pi for i in 1~n整除，P為質數。假設
→ lucifiel1618: 不成立
→ wohtp       : 證明這個哪需要唯一質因數分解，不是只需要同餘唯一
→ wohtp       : 就好了嗎？
→ wohtp       : 甚至也不需要同餘唯一這麼強，只要證明用某個寫法會
→ wohtp       : 餘一的數字絕對不可能換個寫法就餘零整除就夠了
→ Vulpix      : 需要的是「整數必有質因數」，這個不難證啊。
願聞其詳

算術基本定理可以直接推論V大你說的 但是直接說明你那句話是如何辦到的??
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.22.79), 01/08/2017 15:21:26
→ OppOops     : 給定d>0, ∀n∈Z, ∃q,r∈Z, 使得 n = d*q + r
→ OppOops     : q,r 唯一並且 0 ≦ r ＜ n
→ OppOops     : Euclidean division, 上面我只是方便舉所以用比較強
→ OppOops     : 證明只用到整數良續性
→ Vulpix      : 忘記排除1,0,-1這幾個無聊的整數(0好像不用排除)。
→ Vulpix      : 2有質因數，假設2~k都有質因數，一旦k+1可以分解就
→ Vulpix      : 可以確定k+1有質因數。不能分解的k+1自己就是質數，
→ Vulpix      : 所以也有質因數。強數學歸納法就可以了。