Re: [中學] 定義域和值域

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《jenshi (小旭)》之銘言：
: f(x)=log(ax^2 +2x+1)
: 請問在以下條件中，a的範圍：
: 1.定義域為正實數
: 2.值域為實數

1.

只要x > 0保證有ax^2 + 2x + 1 > 0

a > 0，而且

=> (1) 當-1/a < 0 => a > 0

   (2) 當-1/a > 0 => a < 0矛盾 沒有往下討論的必要

又當 a = 0 => 符合條件 log(2x + 1)也可以

log(2x + 1)定義域在x > -1/2都可以，所以正實數也可以做定義域

另外一個方法

只要x > 0保證有ax^2 + 2x + 1 > 0

=> ax^2 + 2x + 1 = 0的兩解α, β 滿足 α<=β<=0

-2/a = α+β

1/a = αβ

當a > 0 => α,β同號 => α, β皆為負數，合
當a < 0 => α,β異號 => α, β一正一負，不合

a = 0，log(2x + 1)定義域在x > -1/2都可以，所以正實數也可以做定義域

所以a >= 0

2.

對於任意正實數，都有至少一個x使得ax^2 + 2x + 1 = 那個正實數

a > 0, 4 - 4a > 0

=> 0 < a < 1

又a = 0，log(2x + 1)的值域也是實數

所以0 <= a < 1

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.56.10.112
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→ Honor1984   : 2.漏打 a > 0, 4 - 4a >= 0 最後0 <= a <= 1
推 antry7623   : 題目應該是有問題的，當a>0的條件成立以後，定義域
→ antry7623   : 就不僅僅只是正實數了，當x小於拋物線跟x軸在負向
→ antry7623   : 的交點時，其實也會是這個函數可以用的部分。這樣就
→ antry7623   : 跟"定義域是正實數"這句話矛盾。
→ Honor1984   : 定義域只要求裡面所有點都能有對應的值 你說的是最
→ Honor1984   : 大可能範圍,但是小於這個範圍依然能作為定義域
→ Honor1984   : 這就是為何a=0也算在內的原因