[線代] 為什麼矩陣可以等式二邊同乘一矩陣?

[UNIQLOCK (UNIQ)]

http://imgur.com/a/impRD


我知道矩陣不能二邊同乘一矩陣



那為什麼反矩陣這裡，黃子嘉可以這樣證呢?



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→ dreamsletter: 因為A若存在反矩陣A^-1則AxA^-1=單位矩陣 任何矩陣
→ dreamsletter: 乘上單位矩陣其值不變
→ dreamsletter: 意思是A矩陣可以透過A的反矩陣消掉餓
→ UNIQLOCK    : 謝謝!!
→ UNIQLOCK    : 瞭解了 :)
請問

1.
所以等式二邊，可以同乘一個矩陣，但是不能同消嗎?
比如 A=B，我自己把它 同乘C 變成CA=CB 這樣子是可以的...?

2.
http://imgur.com/a/impRD
原圖中的 BA=C  => B=CA^-1

意思是，矩陣也可以右邊同乘一個矩陣嗎?
比如A=B  我乘上一個右C，變成AC=BC...?



QQ 感覺乘法的性質都沒有寫清楚...



→ wohtp       : 當然可以兩邊同乘啊？
→ wohtp       : 不一定能做的是「兩邊同除」，因為不一定有反矩陣
→ dreamsletter: AB=AC的條件是A存在反矩陣 及det(A)=\=0 還有位置要
→ dreamsletter: 對 AB=CA 儘管存在A存在反矩陣 也不會成立
→ dreamsletter: 你說B=C可以同乘A變成AB=AC嗎？ 當然可以 在「位置
→ dreamsletter: 」是對的情況下
謝謝 :)

請問 上面的2中說的 A=B，同乘右C 變AC=BC 也是可以的囉...?
二邊可同乘，需要有前提是他們同乘的矩陣可逆嗎?



不好意思，很笨的問題==
因為這個性質的存在 => A:不可逆  AB=AC  B不等於C
讓我很多困惑...

推 Desperato   : 可以兩邊同乘 基本上沒有兩邊不能同乘的等式吧
→ wohtp       : 等號兩邊在各種意義上完全一樣。
→ wohtp       : 你對一樣的東西做一樣的事，結果當然應該一樣
→ wohtp       : 所以，假設 A = B，則一定有 AC = BC，不論A B C 各
→ wohtp       : 是什麼。
→ wohtp       : 問題是出在反推回來的時候， AC = BC 不見得可以推
→ wohtp       : 到 A = B。
原來如此!

問題是出在沒有東西可以把它除回來 XD，原來數學裡面還有"沒有辦法除回來"這種事情..


謝謝wohtp :)
※ 編輯: UNIQLOCK (111.240.113.109), 01/17/2017 11:00:15
→ wohtp       : 但問題並不是出在「原本相等的 AC 和 BC，同除 C 以
→ wohtp       : 後會變得不一樣」。那是不可能的。
→ wohtp       : 再次重申，對等號兩邊做一樣的事，結果一定一樣。
→ wohtp       : 這裡的問題出在，你不一定可以「除以C」
→ Desperato   : 數學上的除法 定義為「乘上乘法反元素」
→ Desperato   : 所以乘法反元素的存在與否 會直接決定可不可以除
→ Desperato   : 不過在某些特定情況 即使沒有乘法反元素
→ Desperato   : 還是可能會有 ab = ac, a!=0 => b = c
→ Desperato   : 這種消去律成立的情況(例如整數)
→ Desperato   : 矩陣是 反元素不一定有 消去律也不成立的情況
→ wohtp       : 那個整數消去律還是需要整數除法啊。
→ wohtp       : 那就是你另外定了一個除法，其定義不是直接「乘上反
→ wohtp       : 元素」這樣罷了
→ Desperato   : 啊啊 我是在想整數域的特性
→ Desperato   : 符合 ab = 0 => a = 0 or b = 0 所以消去律成立
→ Desperato   : 也就是不存在 a!=0, b!=0, ab=0 的情況
→ Desperato   : 例如多項式就符合這個狀況 所以多項式也有消去律
→ Desperato   : 整數除法是比整數域更厲害一點的東西 不一定需要
→ carelai     : 滿足消去律如果乘法又可交換的話，稱作整環（
→ carelai     : integral domain），這是比域（field）更弱的條件
→ carelai     : 詳見http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_domain
推 suhorng     : 對耶都忘了 domain 不用除法也可以消去XD