作者GaussQQ (亮)
看板Math
標題Re: [中學] 正整數平方和的倍數問題
時間Tue Feb 14 23:36:06 2017
注意 1^2 + 2^2 + 3^2 +．．．+ n^2=n(n+1)(2n+1)/6
, (n,n+1)=(n+1,2n+1)=(n,2n+1)=1.兩兩互值
因此一些可能是n=25k, n+1=25k or 2n+1=25k
Case 1: n=25k for some k
則 32|25k+1 or 32|50k+1 後者顯然不合。
因此只須考慮 32|25k+1 (i.e. 32m-25k=1)
利用輾轉相除法可以解得最小正整數解(m,k)=(18,23)
Case 2: n+1=25k
則 32|25k-1 or 32|50k-1 後不合
因此輾轉相除法可以解得最小正整數解(i.e. 32m-25k=-1)
(m,k)=(7,9)
case 3: 32|(25k-1)/2 or 32|(25k+1)/2 也可check出解比case 2的大
一樣用輾轉相除法
因此答案是case 2的n+1=225=>n=224
※ 引述《mj813 (薩坨十二惡皆空)》之銘言：
: 有請各位大大解惑：
: 若 1^2 + 2^2 + 3^2 +．．．+ n^2
: 是 400 的倍數。
: 則正整數 n 的最小值為？
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推 mj813 : 請問那個輾轉相除法，如何操作呢？ 02/15 11:20
→ GaussQQ : 這我以前中學有學過 02/15 12:44
→ GaussQQ : 上網搜索輾轉相除法 這類型的問題是一種例題 02/15 12:45
→ GaussQQ : 您可以自己看一下 02/15 12:45
推 mj813 : 謝謝 02/15 13:01
推 LPH66 : 其實那就是在求我提的中國剩餘定理的乘數 02/16 07:21
→ LPH66 : 對 25,32 有 25*9-32*7 = 1, 所以乘數即可求得為: 02/16 07:22
→ LPH66 : 25 這邊是 800-32*7 = 576, 32 那邊是 25*9 = 225 02/16 07:23
→ LPH66 : 雖然中學有教由輾轉相除法求湊 GCD 的方法 02/16 07:24
→ LPH66 : 但沒有把這個跟中國剩餘定理連在一起 02/16 07:25