Re: [工數］一題ODE

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《unixxxx (皓皓)》之銘言：
: 請問下面這題要怎麼解......
: 試了grouping 和公式法 一直都解不出來QQ
: dy/dx=(y-xy^2-x^3)/(x+yx^2+y^3)
: 答案為1/2（x^2+y^2)+tan^-1(y/x)=c
: 有沒有好心人幫我看一下  我一直找不到積分因子 ...解不了 謝謝！
: ——————分隔
: 剛解出來了兩個答案 一個和書給的一樣
: 另一個是
: -1/2（x^2+y^2）+tan(x/y)=c
: 寫這個也能嗎@@

可以

arctan(y/x) + arccot(y/x) = π/2

當y/x > 0

arccot(y/x) = arctan(x/y)

=> arctan(y/x) + arctan(x/y) = π/2

所以

arctan(y/x) + (1/2)(x^2 + ^2) = c

=> -arctan(x/y) + (1/2)(x^2 + y^2) = c - π/2 = c'

就是你得到的結果

當y/x < 0

arctan(y/x) = -arctan(|y/x|)

arccot(y/x) = π - arccot(|y/x|)

            = π - arctan(|x/y|)

            = π + arctan(x/y)

=> π/2 - arctan(y/x) = π + arctan(x/y)  用到我下一篇的恆等式

=> arctan(y/x) = -π/2 - arctan(x/y)

=> arctan(y/x) + arctan(x/y) = -π/2

仿照前面的步驟

-arctan(x/y) + (1/2)(x^2 + y^2) = c + π/2 = c"



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.56.10.112
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1487140590.A.F4F.html
推 unixxxx     : arctan(x/y) + arctan(y/x) = π/2 我在書上有看到
→ unixxxx     : 欸 要怎麼證明@@
推 wayne2011   : Let alpha=arctan(x/y),beta=arctan(y/x),最後和角.
※ 編輯: Honor1984 (61.56.10.112), 02/15/2017 15:52:26
→ LPH66       : 證這個公式只要畫個直角三角形兩股為 x y 立證
→ Honor1984   : 但是arccot和arctan的值域是不同的 必須另外處理
→ LPH66       : 啊, 沒注意到負參數...