推 fivechess : 謝謝您 02/17 12:37
※ 引述《fivechess (Arron)》之銘言：
: 請問各位這一題的想法應該從何下手，
: 煩請指教謝謝大家。
: http://i.imgur.com/YdKwen9.jpg
假設有k個隊伍
在9人的子集下，每個隊伍會被計數 C(n-5,4) 次(考慮這個隊伍會被選到幾個9人子集)
所以平均是 C(n-5,4) * k / C(n,9)
同理 8人子集下，平均是C(n-5,3)*k / C(n,8)
由題意兩者互為倒數，有 [C(n-5,4) * k / C(n,9)] *[C(n-5,3) * k / C(n,8)] = 1
故 k^2 = [C(n,9) * C(n,8)] / [C(n-5,4) * C(n-5,3)]
= {[n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)]/[(2^5 * 3^2 * 5 * 7)]} ^ 2
所以 k = [n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)]/(2^5 * 3^2 * 5 * 7)]
代表 2^5 * 3^2 * 5 * 7 | n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
(其中5必定整除n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4))
討論 2^5 | n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) -> n≡{0,1,2,3,4,8,10,12,16,
17,18,19,20,24,26,28} (mod32)
3^2 | n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) -> n≡{0,1,2,3,4,6,7} (mod9)
7 | n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) -> n≡{0,1,2,3,4} (mod7)
由中國剩餘定理可知
在 n = 1 ~ 2^5*3^5*7 = 2016之間 ，有 16 * 7 * 5 = 560組
其中在 n = 1 ~ 8 (不滿9人)之間滿足上述三種同餘條件的只有 n = 1,2,3,4
而2017滿足2^5*3^2*5*7 | n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
所求 560-4+1=557
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※ 編輯: FAlin (218.173.45.72), 02/17/2017 10:53:27