※ 引述《littledog111 (NONO)》之銘言：
: 跨系讀後對於數學問題實在非常頭痛
: 講義上有一題練習題我一直不知道該如何解
: 想請問各位大大這一題該用什麼方式解呢
: 請各位大大多多指教謝謝
: http://imgur.com/Pc8V111
(a)
題目應該講清楚路徑是折直線段
對於∫ 2 x^2 y dx + x^3 dy
(1, 1) -> (2, 1)： x = t, y = 1
2
∫df = ∫2 t^2 dt = (2/3) * 7
1
(2, 1) -> (2, 2)： x = 2, y = t
2
∫df = ∫ 8 dt = 8 * 1
1
所以∫df = 14/3 + 8 = 38/3
(1, 1) -> (1, 2)： x = 1, y = t
2
∫df = ∫ dt = 1
1
(1, 2) -> (2, 2)： x = t, y = 2
2
∫df = ∫ 4t^2 dt = (4/3) * 7
1
所以∫df = 1 + 28/3 = 31/3
結論：兩種路徑計算的線積分不同
理由是2 x^2 y dx + x^3 dy並非exact
題目出得有點問題
因為如果可寫成df = 2 x^2 y dx + x^3 dy
就表示是exact
(b)
兩個路徑的積分會相同
仿照上面的做法，我就不多寫了
理由是[2 x^2 y dx + x^3 dy] / x
= 2xy dx + x^2 dy
= d(yx^2)
(2,2)
積分值 = ∫ d(yx^2)
(1,1)
= 8 - 1 = 7
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