[分析] Cauchy seq. in a compact set is convg.

[iamokay (藍波大人)]

大家好，目前在證明Apostol的Theorem 4.10.，有個環節不懂，請指點一下，感謝!

定理說compact set為complete，根據complete的定義，這就是說在compact set取

的Cauchy sequence會收斂，Apostol的證明分兩部分，第一部分是Cauchy sequence

的值域為finite，第二部分是Cauchy sequence的值域為infinite，第二部分處理掉了

，就用accumulation point的定理，但第一部分卻怎麼也看不懂，改看說明較詳細的

Theorem 4.8.(我打算處理掉一般的metric space再處理R^n)，這邊說:


If T is finite, then all except a finite number of the terms {x_n} are equal
and hence {x_n} converges to this common value.


不懂為何如此，不需要用Cauchy sequence的定義及compact set的性質嗎?

那個If跟then之間該填入什麼?謝謝大家!

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1488458316.A.258.html
→ THEJOY      : 只有有限個值，就是說某一項之後的值都一樣
→ THEJOY      : i.e., alomost constatnt，所以收斂
→ THEJOY      : 要用到 Cauchy，let e = min{d(x,y)|x!=y in T}>0
先謝謝你!抱歉，看不懂min{...}的...

→ THEJOY      : by def, 存在 N s.t. for all n,m>=N, |x_n -x_m|<e
→ THEJOY      : 這會得到 x_n = x_m，否則會矛盾於 e 的選取
※ 編輯: iamokay (123.193.88.184), 03/02/2017 23:20:19
推 znmkhxrw    : @T大的意思是 e = min{d(x,y)|x =/= y in T}
推 znmkhxrw    : T最多n個不同元素 d(x,y)最多C(n,2)個
謝謝上面兩位，我搞定了。感謝。
※ 編輯: iamokay (123.193.88.184), 03/05/2017 00:11:15
推 THEJOY      : 我一下d一下絕對值，自己都搞糊塗了:P 感謝z大補充