[代數] conjugate subgroup

[yuzic (柚)]

H is a subgroup of a group G and g is in G.

K = gHg^(-1) = {ghg^(-1) | h ∈ H }

Prove (or disprove) that either H = K or H∩K = {e},

where e is the identity element of G.


沒有想到反例，先朝證明的方向

定義一個可能有幫助的映射

f_g : G → G , f_g(b) = gbg^(-1) for all b∈G

可證f_g是一個isomorphism (1-1, onto, homomorphic)

利用這個映射，可證明

K is a group 和 H and K are isomorphic

所以K必包含e

若g∈H，則 H = K

主要問題是 當g不在H裡面，是否必為H∩K = {e}

或者其實有反例？


請MATH版版友解惑，謝謝~

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推 Desperato   : 反例 G = D12, H = <sr, r^3>, g = r
→ Desperato   : 分析過sylow subgroup就會知道顯然有反例
→ yuzic       : 謝謝D大的反例，Sylow定理算初階抽象代數末段課程
→ yuzic       : 有些特性沒熟記，獻醜了。
推 Vulpix      : S_4的三個D_4子群，他們的交集都是V_4。