Re: [中學] 雄中科學班試題

[FAlin (人間失格)]

※ 引述《starlkj (比比♡杰)》之銘言：
: 105學年度的其中一題，
: p為質數，且p^4的全部正因數總和為一個完全平方數，求質數p =?
: ---------------------------------------------------------------
: p^4正因數為 1,p,p^2,p^3,p^4
: 總和為 1+p+p^2+p^3+p^4 =1+p(1+p)+p^3(1+p)
:                        =1+(1+p)(p+p^3)
:                        =1+p(1+p)(1+p^2)
: 設此完全平方數為k^2(k為正整數)
: 則 1+p(1+p)(1+p^2)=k^2
: => p(1+p)(1+p^2)=k^2-1
: => p(p+1)(p^2+1)=(k+1)(k-1)
: => (p^2+p)(p^2+1)=(k+1)(k-1)
:    接下來這樣做可以找到一組答案
: => (p^2+p)-(p^2+1)=(k+1)-(k-1)
: => p-1=2
: => p=3
: 目前想到這方法可算出一組答案，但是不知道後半段那邊是否正確，
在p不等於2的情況下，p^2+1是偶數，亦可分解，不能確定所有答案
: 正確的話該怎麼解釋？答案是唯一的嘛？

(p^2+(p/2))^2 < 1+p+p^2+p^3+p^4 < (p^2+(p/2)+1)^2

故 1+p+p^2+p^3+p^4 = (p^2+(p/2)+(1/2))^2 = (1/4)+(p/2)+(5p^2/4)+p^3+p^4

->  (p^2/4)-(p/2)-(3/4) = (p^2-2p-3)/4 = 0 -> p=3 v -1(不合)


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.236.106.85
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1489043393.A.01E.html
→ yyc2008     : 請問第一個不等式怎麼得到的?
→ yyc2008     : 故...也不知道怎麼推導的 可以講詳細一點嗎?
推 LPH66       : 「故」那一行是當 p 是奇數時, 在所夾的範圍內
→ LPH66       : 那個平方數只能是 (p^2+(p+1)/2) 的平方
→ LPH66       : 至於問那個夾起來的不等式怎麼找的話
→ LPH66       : 左邊基本上是高次項配方, 配完剩下的顯然為正
→ LPH66       : 然後右邊就是往上加 1 而已
→ LPH66       : 當然也需要檢查確實 +1 之後會跨過去
→ yyc2008     : 請問LPH66大 配方式(p^4+p^2+1/4)+...?不知怎麼配
→ yyc2008     : 怎麼配成像(p^2+(p/2))^2這樣的式子
→ LPH66       : 高次項所以是從 p^4+p^3 出發, 因此平方前的兩項
→ LPH66       : 是 p^2 跟 p/2 然後就看到需要 p^2/4 才能配成方
→ LPH66       : 原式因此剩下 (3/4)p^2+p+1 為正
→ LPH66       : 換個角度看, (p^2+(p/2))^2 = [p(p+1/2)]^2
→ LPH66       : = p^2 * (p+1/2)^2 = p^2 * (p^2+p+1/4)
→ LPH66       : 後面這個型式可能就比較熟悉了
→ yyc2008     : 超感謝LPH66大大詳細的解釋,我看一下
→ yyc2008     : 看懂囉 謝謝LPH66大
→ yyc2008     : 可是原式=(p^2+p/2)^2+(3/4)p^2+p+1怎麼確認剛好就
→ yyc2008     : 小於它的最大完全平方數就剛好是(P^2+P/2)^2,以及大
→ yyc2008     : 於它的最小完全平方數剛好就是(P^2+P/2+1)^2
→ yyc2008     : 原式=(P^2+P/2)^2+(3/4)(P+2/3)^2+2/3,怎麼知道它和
→ yyc2008     : (P^2+P/2)^2之間再無完全平方數?同理怎麼知道上限和
→ yyc2008     : 它之間再無其他完全平方數?
推 LPH66       : 呃, 這篇的做法跟下一篇的稍微不一樣喔
→ LPH66       : 這邊在這條式子出來出來之後, 在 p 是奇數時
→ LPH66       : 兩邊都是一個 x.5 的平方, 而這裡面的兩個數差一
→ LPH66       : (例如在 p=3 時會推出 10.5^2 < 中間 < 11.5^2 )
→ LPH66       : 因此中間若有平方數就一定在"正中間"
→ LPH66       : 所以就會推出它該是 (p^2+(p/2)+(1/2))^2
→ LPH66       : 但下一篇的不等式是夾在兩個連續整數之間
→ LPH66       : (同樣是 p 奇數的狀況) 因此只會是有取等號的那一邊
→ yyc2008     : 再請問一下LPH66大，要怎麼知道+p/2是小於答案的最
→ yyc2008     : 大的X.5^2?
推 LPH66       : 那就是上面提的「平方裡面 +1 之後跨過去了」
→ LPH66       : 其實概念跟下一篇本質上差不多
→ LPH66       : 都是夾在差一的兩數的平方之間來夾出所要的整數
→ LPH66       : 上面的配方只是其中一種找平方的方法
→ LPH66       : 只是用這樣配方能夠方便確定所找到的是所要的
→ LPH66       : 而如果在配方時多抓一個常數進來 (例如多/少個 1/2)
→ LPH66       : 那得到的不等式就會是下一篇的那一個