[分析] f_n(x)→f(x),f(n)→∞=>f_n(n)→∞

[znmkhxrw (QQ)]

請問有沒有以下例子：

Let f_n(x)：[a,∞) → R be a sequence of functions

and f_n(x)→f(x) pointwisely, f(n)→∞

But f_n(n) ─X→ ∞

-------- 以下是幾個觀察 -------

1.若f_n(x)→f(x) uniformly 則f_n(n) 確實會→ ∞

2.嘗試找反例，我找了三個例子

  (a) (1+x/n)^n    → e^x  , x>0
  (b) n(x^(1/n)-1) → ln(x), x>1
  (c) nx/(n+x)     → x    , x>0

  這三者都不是均勻收斂，但是碰巧的e^n,ln(n),n都→∞

  所以我又回過頭來看看能不能用f_n(x)→f(x) pointwisely就能證出f_n(n)→∞

  還是失敗

3.之後回過頭看那三個特例，發現它們都有一個性質"uniformly nondecreasing"

  也就是說 f_n(x) <= f_n(y) , for all x<y , n

  而確實加上這個條件的話，f_n(x)→f(x) pointwisely就能證出f_n(n)→∞


因此，若要找一開始問的問題的例子，勢必f_n(x)不能是"uniformly nondecreasing"

造了好久生不出來QQ 謝謝幫忙！

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→ arthurduh1  : 比如 f_n(x) = x when 0<x<n; = 0 when x>=n
→ znmkhxrw    : 我的腦細胞白死了QQ 謝謝你的例子 簡潔明瞭!
→ arthurduh1  : 快點休息XD