Re: [微積] 一題積分面積

[aromaQ626 (摳咪霉庇)]

※ 引述《aromaQ626 (摳咪霉庇)》之銘言：
: ※ 引述《lyc870506 (QQ)》之銘言：
: : http://i.imgur.com/9eqDlHF.jpg
: : 第29題
: : 用這三個方程式圍起來的面
: : 求繞x軸旋轉體體積
: 所以我說你是要算體積還是表面積阿
: 標題內文這樣不統一是可以的嗎
: 以下體積的算法
: 畫個圖http://imgur.com/EDmShaL
: 圍起來的地方就是斜線區
: 繞x軸旋轉後大概長這樣
: http://imgur.com/wcpnZ5N

來試試看表面積^^

對於一曲線段沿x軸旋轉後的表面積

http://imgur.com/xDWu4Dh

會等於圓柱的側面積再乘上傾斜角度的貢獻

也就是 2πy dx * secθ = 2πy*√(1 + (dy/dx)^2) dx


因此本題的表面積可以想成3條曲線分別的貢獻得和

  1/√2                       1
= ∫2π(2x)*√(1 + 2^2) dx + ∫2π(x)*√(1 + 1^2) dx
   0                          0

    1
 + ∫2π(1/x)*√(1 + (-x^2)^2) dx
   1/√2


//   √(1 + x^4)
// ∫-----------dx
//        x
//
//    x√(1 + x^4)
// =∫-----------dx (令x^2 = tanθ，2xdx = sec^2(θ)dθ)
//        x^2
//
//           sec^2(θ)*secθ
// = (1/2)∫-----------------dθ
//                tanθ
//
//            sinθ
// = (1/2)∫---------dθ  (令u = cosθ)
//          cos^4(θ)
//
//           du
// = (1/2)∫----
//        　 u^4
//
// = (-1/6) u^(-3)
//
// = (-1/6) (1 + x^4)^(3/2)


= 2π[√5 * 1/2 + √2 * 1/2 + (10√5)/96 - (√2)/3]

= π[(1/3)√2 + (29/24)√5]


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推 uhmeiouramu: 小學生烙國中生
→ strike5566: 國中生烙高中生
推 ccchenny: 但高中生不會烙大學生
推 aromaQ626: 因為大學生都在打LOL
推 Zeeslan: 要烙也只會烙賽
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