[線代] 如何證明對稱矩陣的反矩陣也是對稱?

[iceleaf (我行我素 我型我塑)]

假定一個存在反矩陣的對稱矩陣，我應該如何證明其反矩陣也是對稱矩陣?

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推 znmkhxrw    : 因為A^t=A 所以(A^(-1))^t=(A^t)^-1=A^(-1)
→ iceleaf     : 為何(A^(-1))^t = (A^t)^-1 ? 這就是我想知道的
→ znmkhxrw    : AA^(-1) = I 兩邊同取轉置後利用(AB)^t=B^tA^t
→ forget0309  : A((A^-1)^T)=(A^T)((A^-1)^T)=(AA^-1)^T=I
→ forget0309  : 從這可得出(A^-1)^T也是A的反矩陣
→ forget0309  : 因為反矩陣唯一所以A^-1=(A^-1)^T
→ iceleaf     : 感謝Z大指點!
→ iceleaf     : 也感謝F大詳解!
→ a84172543   : 可考慮正交對角化，A=PDP'，P'=P^t