Re: [微積] 高斯函數

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《semmy214 (黃小六)》之銘言：
: http://imgur.com/a/pzxQX
: 這題的話 我是上下微分
: 但次方還有高斯不知怎處理
: 求詳解


1.
         ┌      ┐^(cotx)
         │ sinx │
    lim  │───│         = 0
   x→0+ │  x   │
         └      ┘

<pf> 那個次方只是讓你覺得很複雜騙你放棄而已
     關鍵在(sinx/x)的觀察，我們都知道當x→0+時他是趨近於1，那到底比1大還是小

     令f(x) = sinx - x , x>0 可以證明出sinx < x for all x > 0
     因此0 < sinx/x < 1 , for all 0<x<π
     即得[sinx/x] ≡ 0 for all 0<x<π

2.
         ┌        ┐^n
         │ sin(n) │
    lim  │────│       doesn't exist
   n→∞ │   n    │
         └        ┘

<pf> 雖然當n趨近於無限大時，sin(n)/n趨近於0
     但若sin(n)/n是正的會導致[sin(n)/n]^n = 0
         sin(n)/n是負的會導致[sin(n)/n]^n =(-1)^n
     所以接著就是嚴格證明他真的不存在

     這邊要用到這個性質：{sin(n):n€N} is dense in [-1,1]

     取r=-0.5，由那個性質我們得到a_n = sin(n)的子列 a_n_j，收斂到r=-0.5
     如此一來 -1 < sin(a_n_j) / a_n_j < 0 for large j
     因此[sin(a_n_j) / a_n_j] ≡ -1 for large j
     得到[sin(a_n_j) / a_n_j]^(n_j) = (-1)^(n_j)

     這個結果貌似對1與-1無限次取值，因而子列不存在極限值故原數列發散
     但可能n_j恆是偶數或是奇數也說不定 我也沒辦法保證
     只好再取另一個子列確保原數列是發散的，如下

     取r= 0.5，由那個性質我們得到a_n = sin(n)的子列 a_m_j，收斂到r= 0.5
     如此一來 0 < sin(a_m_j) / a_m_j < 1 for large j
     因此[sin(a_m_j) / a_m_j] ≡ 0 for large j
     得到[sin(a_m_j) / a_m_j]^(m_j) ≡ 0

     綜合以上，假設原數列收斂到L
     因為子列[sin(a_m_j) / a_m_j]^(m_j) 收斂到0，所以L=0
     則另外子列[sin(a_n_j) / a_n_j]^(n_j) 也會收斂到0，矛盾！
     因為此子列不是1,-1亂跳就是收斂到1或是-1

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※ 編輯: znmkhxrw (111.255.239.97), 03/23/2017 14:55:53
→ Desperato   : sin(x)<0的區間段長度是pi 所以可以選出一偶數在裡
→ Desperato   : 這樣就會全部是1了
→ yyc2008     : 第一題不會有0^無限大的問題?
→ yyc2008     : 雖然說[sinx/x]在那附近都是0,但畢竟不是常數.
→ yyc2008     : 還是只有一段區域都是常數,就可以當成常數?這段區域
→ yyc2008     : 要怎麼限定多大就滿足?
→ Desperato   : 給定任何一個趨近於0的數列{x_n}
→ Desperato   : 因為x_n都不是0 所以[sinx/x]^cotx都是0
→ Desperato   : 令y_n = [sin(x_n)/(x_n)]^cot(x_n)
→ Desperato   : 所有y_n都是0 所以這個數列的極限就是0
→ Desperato   : 而且話說回來 0^無限大 應該就是0了(?)
→ Desperato   : 你的問題應該是出在 例如 1^無限大 的情況
→ Desperato   : 像是 y_n = (1+1/n)^n, n->inf
→ Desperato   : 這種情況 y_n 實際上不會鎖在1 而是往e遞增
→ Desperato   : 所以極限值才會變成 e
→ yyc2008     : 謝謝 請問有沒有0^無窮大的極限仍然是非0的定值?
→ Desperato   : 應該不會吧 因為0.1^無限大還是0啊
→ yyc2008     : 讚！感謝D大 我被說服了