Re: [分析] 無窮的分式方程的根個數

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《bay88 (胖杯杯)》之銘言：
: http://i.imgur.com/a95PrZ2.png
:         其實我也不知道這個應該放哪個分類，主要是想否證明以上這個一連串的分式方程是不是恆兩個實根，有試過用數學軟體去畫到n=100的狀況，都還是恰兩根。
:          試過勘根可以知道至少有兩實根，數學歸納法也卡在n=k推到n=k+1，根本難下手XDD！
:          想請問板上的高手是否有看過定理能夠保證某些特殊分式方程的根的個數，或相關文獻，手機排板傷眼抱歉！！
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想用硬幹法，可是缺一步沒做出來...


 n     x^2 - k
sum ------------- = 0
k=1  x^2 + x + k

代入 x = 0, -1/2 並非此方程式的解

 n     2x^2 + x
sum ------------- = n
k=1  x^2 + x + k

 n        1              n
sum ------------- = ----------
k=1  x^2 + x + k     2x^2 + x


                1                n                    n
令 a(k) = -------------, f(x) = sum a(k), g(x) = ----------
           x^2 + x + k          k=1               2x^2 + x

當 k 是正整數的時候，a(k)恆正

由於 a(k) + a(m) > 2 a((k+m)/2)

因此 f(x) > n a((n+1)/2)

令 n a((n+1)/2) >= g(x) 得到 |x| >= sqrt((n+1)/2) = c


現在分成數個區間，如果可以證明

I_1 = (-inf, -c)   f(x) > g(x)
I_2 = (-c, -1/2)   0 < d/dx f(x) < d/dx g(x)
I_3 = (-1/2, 0)    g(x) < 0 < f(x)
I_4 = (0, c)       0 > d/dx f(x) > d/dx g(x)
I_5 = (c, inf)     f(x) > g(x)

由於 lim_(x->-1/2^-) g(x) = inf
     lim_(x-> 0  ^+) g(x) = inf 且 f(x) 必定是有限值

可以得出 I_2 和 I_4 各有正好一實根



I_1, I_5的case上面已證，I_3的case很明顯

剩下I_2, I_4的case也就是 |d/dx f(x)| < |d/dx g(x)|


如果 b(k) 是對k的遞減函數且恆正

      n                  n
則有 sum b(k) <= b(1) + int b(t) dt
     k=1                 1

                                  1             1           1
因此 |d/dx f(x)| <= |2x+1| (------------- + --------- - ---------)
                             (x^2+x+1)^2     x^2+x+1     x^2+x+n

                n |4x+1|
|d/dx g(x)| = ------------
               (2x^2+x)^2


...然後就不會證了(攤手) 明明就是兩個普通函數而已

畫圖來說 確實在 (-c, -1/2) 和 (0, c) 之間
會有 |d/dx f(x)| < |d/dx g(x)|

總之懶得算了...


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嗯嗯ow o

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推 bay88       : 還是很感謝您，我也是覺得很直觀的東西卻證不出來，
→ bay88       : 我的方法也是差一步的fu
→ yyc2008     : 看不懂第二和第三個等式怎麼來的
→ Vulpix      : case4+5. 如果直接微分原本的函數，容易看出x>0時
→ Vulpix      : 函數從-n一路遞增到n，所以有唯一正根。
→ Desperato   : 的確 我原本也是用原函數做 卡在左邊弄不出來