推 xitian81: 其實他們都是男的 不信你摸摸看04/30 20:56
推 defendant: 薛丁格的gg04/30 21:00
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→ NNAA : 當 k < n/p, GNS ineq 的功能在於消耗u的微分度 04/04 01:25
→ NNAA : 讓u可以嵌入到積分度更高的空間(L^q) 04/04 01:25
→ NNAA : 假設u用掉α個微分度之後, 落在 W^{k', p'}, 04/04 01:26
→ NNAA : 並且有 k' > n/p', 此時就可以用 Morrey ineq 04/04 01:28
→ NNAA : 使 u 嵌入 C^{k'-1, γ} 04/04 01:28
→ NNAA : 總之, 只要函數微分度夠高, 就能透過這兩個不等式 04/04 01:32
→ NNAA : 嵌入到C^k 04/04 01:32
→ NNAA : 另外 W^{1, n}嵌入到 L^q, n <= q < ∞, 04/04 04:11
→ NNAA : 用書上 GNS ineq 的做法 + interpolation 即可證明 04/04 04:14
interpolation是指W^{1, n}可以放到L^∞ 然後再夾出L^q?
可是W^{1, n}不在L^∞裡耶?
→ NNAA : 最後, n/p 是否為整數其實不重要, 因為後面會講到 04/04 04:19
→ NNAA : 分數次微分是什麼 以及如何定義 04/04 04:20
※ 編輯: xavier13540 (1.200.43.37), 04/04/2017 17:39:05
※ 編輯: xavier13540 (1.200.43.37), 04/04/2017 17:44:22
推 arthurduh1 : 用 wiki GNS 的記號, 最後會得出 04/04 21:30
→ arthurduh1 : 1/q = (j-m\alpha+1)/n, j/m<=\alpha<=1 這個條件 04/04 21:31
→ arthurduh1 : (這裡的\alpha是wiki的,不是書上的) 04/04 21:31
→ arthurduh1 : 注意到 \alpha 是可以自訂的, 而 ∞>q>=n 和 04/04 21:32
→ arthurduh1 : j<=k-\ell-1 的確是可以調整出來的. 04/04 21:33
→ arthurduh1 : 甚至 m 也可以調整, 因為書上是設 u 屬於 04/04 21:34
→ arthurduh1 : W^{k-\ell,n}, 所以 m <= k-\ell 都可以 04/04 21:34
→ arthurduh1 : 可以說自由度還滿大的. 也許你可以把你熟悉的記號 04/04 21:35
→ arthurduh1 : 寫出來, 可以試著幫忙化簡看看. 04/04 21:35
→ arthurduh1 : 另外, 他 k-\ell-1 會 -1 應該是為了後面的 04/04 21:37
→ arthurduh1 : Morrey's ineq. 需要再多一次微分. 04/04 21:38
我知道了 其實這個根本沒有這麼複雜
注意 U 是有界的
如果 u \in W^{1, n}(U)
則對於所有的 p < n 都有 u \in W^{1, p}(U)
而且用 Holder's ineq 可以證明這個 embedding 是 bounded 的
然後 1/(p*) = 1/p - 1/n 可以盡量小
用 GNS ineq 和 interpolation 我們有
u \in W^{1, q} for all q \in [1, \infty)
_(:3」∠)_
※ 編輯: xavier13540 (1.200.43.37), 04/04/2017 22:09:35