Re: [數論] 有理數在加減乘除的封閉性？

[forget0309 (龍雪飲)]

※ 引述《nnnn (嗯~嗯~嗯~嗯~~~)》之銘言：
: 我不是數學系的，大學也只有唸過微積分,工數,離散數學。這問題也不是在哪本書的題
目
: 看到的，是偶然突發想到的問題，可能有人覺得愚蠢，敬請見諒。
: 高中教材有講過，有理數在加減乘除具有封閉性。
: 因此用數學歸納法可以
: http://i.imgur.com/Yn1Yg62.jpg
: 簡便證明出:f(n)是有理數， for ∀n
: 但是
: http://i.imgur.com/ovTlyX2.jpg
: 是個無理數
: e是無理數一定是千真萬確的事情，所以想請教是我誤會了"封閉性"的意思，
: 還是我誤用的數學歸納法？



從你的解法來看，是誤用了數學歸納法。
首先解任何數學題目，你的步驟必須要是有限的（證明過程不能有什麼“做了”“無窮次
”之後吧啦吧啦的），所以數學歸納法的證明不能用來證明無窮的情況。

先回憶一下數學歸納法的過程
step1.先證n=1成立
step2.n=k成立→n=k+1也成立
為什麼這兩件事check完就證完
對所有N原命題均成立了？

怎麼知道n=100時，原命題是否成立？
數學歸納法的實際過程是先證n=1成立，然後by step2.我可以知道n=2成立，知道n=2成立
後在by step2.又可以知道n=3成立…（一直做下去遲早會知道n=100也成立）

所以對於無窮的情況，你會做不完。根據前面提到的你解題目的過程必須是有限步驟，所
以用數學歸納法證明無窮會爆掉。

如果看不太懂我在說什麼而且不想瞭解的話，記個結論：數學歸納法不能用來證明無窮的
case




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推 LPH66       : 然後順帶一提的是認真在討論無限大時有另一套東西
→ LPH66       : 但平常是用不到那一套東西的所以就簡單帶過而已
→ LPH66       : 那跟一般的數歸型式有點像但其實是很不一樣的東西
推 znmkhxrw    : "For any n" =/= "n→infinity"
推 xcycl       : 只能證有限這說法也不能算錯，任意元素都可以由有
→ xcycl       : 限步驟疊出來，transfinite induction 或是 epsilon
→ xcycl       : -induction 也沒有脫離這個範疇。