Re: [微積] 可微分函數圖形的極值點與反曲點

[arthurduh1 (arthurduh1)]

※ 引述《F00L (愚者)》之銘言：
: http://imgur.com/kKT7KGD
: 我和朋友討論到高三數學中：
:     「三次函數圖形上的極值點，第一階導函數值為０」，
:   但「三次函數圖形上第一階導函數值為０的點，不一定是極值點」。
:     例如：f(x)＝x^3，   f'(0)＝0，  但(0,0)並非是極值點。
:                                          （恰好是反曲點）
:     「四次函數圖形上的反曲點，第二階導函數值為０」，
:   但「四次函數圖形上第二階導函數值為０的點，不一定是反曲點」。
:     例如：f(x)＝x^4，   f"(0)＝0，  但(0,0)並非是反曲點。
:                                          （恰好是極值點）
: 朋友就突發奇想說把條件寫成圖片中的敘述（http://imgur.com/kKT7KGD），
: 我也不確定他那樣寫對不對，於是幫他在板上向各位先進請益，煩請賜教，萬分感謝。
:


首先 f(x) 應該要是 n 階可微, 這除了讓題目本身的多次微分有意義外,

你應該也不會希望 x^b sin (1/x^c) 之類的函數來攪局,

這類函數可能造成 n 階導數不存在.



不失一般性假設 f(a)=0.



在考慮範圍內的函數 f(x), 因為 x=a 的某階導數非 0 (且存在),

故 f(x) 在夠小的 (a-ε, a+ε) 區間內僅有 x=a 一處的零點,

同理可假設 f(x) 在 x=a 點的 n-1 階以內的導函數都在此區間內有同樣性質.



以下處理的函數 g(x) 會是 f(x) 的 n-2 階以內的導函數,

因此都有 g(a)=g'(a)=0.



首先, g(x) 在 x=a 有反曲點的定義為: g'(x) 在 x=a 點有局部極值.
           (且此局部極值須是孤立的, 但我們已經事先排除非孤立的情形了.)


另外,

(A) 若是反曲點, 由於 g'(a)=0, 故 g'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 區間皆同號或為 0,
    也就是 g(x) 在 (a-ε,a+ε) 為單調函數(遞增或遞減),
    搭配上 g'(x) 在此區間僅有一零點, 可得 g(x) 在 x=a 點沒有局部極值.

(B) 若 g'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 內單調, 搭配上 g'(x) 在此區間僅有一零點,
    知 g(x) 在 x=a 點非反曲點; 但因 g'(a)=0 以及 g'(x) 的單調性,
    g(x) 在 x=a 點必有局部極值.



正式來處理題目.



n=2 的情形顯然有 f'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 單調, 符合 (B) 條件 (當 g=f 時).

今假設 n<N 時皆已證得.

若某一函數 f(x) 在 x=a 點的 1 ~ N-1 階導數皆為 0, 但 N 階導數非 0.

考慮 f'(x), 其 1 ~ N-2 階導數皆為 0, 但 N-1 階導數非 0, 滿足歸納法假設.



若 N-1 為奇數:

則 f'(x) 在 x=a 點有反曲點, 沒有局部極值.

由 (A) 知 f'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 內單調 (令 g=f'),

再由 (B) 得所求 (令 g=f).



若 N-1 為偶數:

則 f'(x) 在 x=a 點有局部極值, 沒有反曲點.

這代表 f(x) 在 x=a 點有反曲點(by 定義), 沒有局部極值(by (A)).



由歸納法得證.#


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推 goshfju     : 猛
※ 編輯: arthurduh1 (1.173.18.134), 04/04/2017 18:24:21

後來爬梳一下發現弄得太複雜了. 以下化簡:

f^{(n)}(a) ≠ 0 (存在) 代表 f^{(n)}(x) 在 x=a 附近皆是同號.

令 L=(a-ε,a), R=(a,a+ε), 使得 f^{(n)}(x) 在此兩區間同號.

由微積分基本定理, 或直接由函數單調性, 搭配上 f^{(n-1)}(a)=0, 得知

f^{(n-1)}(x) 在 L 上面與在 R 上面異號.

同理, 搭配上 f^{(n-2)}(a)=0, 得知

f^{(n-2)}(x) 在 L 上面與在 R 上面同號.

依次推論,

若 n 為奇數, 則 f'(x) 在 L 與在 R 上面同號,

f(x) 在 L 與在 R 上面異號, 因此 x=a 為 f(x) 的反曲點, 但非局部極值;

n 為偶數時類似.

※ 編輯: arthurduh1 (101.15.165.24), 04/04/2017 20:14:12
推 F00L        : 好厲害，謝謝您～ ^^