[線代] R^T A R = B A

[Lanjaja ()]

有個問題一直想了很久都想不出來，
所以想請問各位強者一個線代的相關問題：

1.
R是2*2旋轉矩陣，給定某一A矩陣，
是否必定存在一個矩陣B，
使得R^T A R = B A？
可以證明嗎？
是否唯一？

2.
又如果B存在，
能否僅以R和A的element來表達B的element?

3.
如果R推廣成Q
如果必存在一C使得
Q^(-1) A Q = CA
則滿足這種關係式的的Q是否有什麼特別的條件
不用窮舉，我只想知道有哪些情況的Q能夠滿足這種關係式

感謝各位強者的解答

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.56.10.112
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→ Lanjaja     : 類似R^T A R = B A這種關係式，我在量子力學看過很
→ Lanjaja     : 多次，但是對於數學含意不知其所以然，感謝強者指導
推 jass970991  : 你的A是不是少條件
→ Lanjaja     : 量子力學中是Hermitian 但是這個可能不是必須條件?
推 jass970991  : 我的線代不是很好 不過你兩邊取det()後不覺得怪怪
→ jass970991  : 的嗎？
→ Lanjaja     : det(B) = 1
→ Lanjaja     : 以上是兩邊取det自然得到的結果
→ mp19990920  : 若 det(A)不為0 det(B) = 1 才成立吧
→ Lanjaja     : 對，det(A)應該要不為0，才會det(B)=1，但這些正是
→ Lanjaja     : 我的問題，有沒有什麼該有的限制條件能夠得到這個關
→ Lanjaja     : 類似這個關係式
推 wohtp       : 題外話，量力裡面這種式子，通常R和B根本作用在不同
→ wohtp       : 空間吧？
推 firstshiva  : A可逆一定存在，A不可逆，這個B不一定存在，假如必`
推 firstshiva  : 存在，那你把等式左右同乘A的null space中的向量x，
推 firstshiva  : 旋轉矩陣把x轉走就不落在A的null space了，那就會得
推 firstshiva  : 到非零向量等於零向量，所以加條件應該是A可逆，或R
推 firstshiva  : 是旋轉180度或是360度的旋轉矩陣才行
推 firstshiva  : 就是R是正或負單位矩陣，或A可逆
→ firstshiva  : 第二個問題，如果A可逆，兩邊同乘A的逆矩陣就得到B`
推 firstshiva  : 喔還有A是零矩陣也行，忘了trivial case 剛才的討窯
→ firstshiva  : 是建立在null space 是ㄧ維子空間，也就是過原點的`
→ firstshiva  : 線
推 firstshiva  : 第三題你可以想看看，Q就是要保持A的零空間不動
→ Lanjaja     : 謝謝各位，我再消化一下。如果有問題，會再請教各位