[線代] 相似變換展成線性組合

[Lanjaja ()]

大家好，經過昨晚的釐清，
我的問題比較具體化了，

A_1 = [1  0]
      [0  1]

A_2 = [ 0 1]
      [-1 0]

A_3 = [1  0]
      [0 -1]

A_4 = [0  1]
      [1  0]


R = [ c  s]
    [-s  c]

其中c = cosθ, s = sinθ

θ為任意角度

令C = cos(2θ), S = sin(2θ)

結果有下列奇妙的關係式：

[R^T A_1 R] = [I 0][A_1]  ___________(1)
[R^T A_2 R]   [0 I][A_2]

   4*2         4*4  4*2

[R^T A_3 R] = [ CI  SI][A_3] __________(2)
[R^T A_4 R]   [-SI  CI][A_4]

   4*2          4*4   4*2

為什麼R^T A_1 R不能由A_3或A_4組合出來，
而是必須像A_1A_2分成一組，A_3A_4分成一組？
這種分組背後的意義是什麼？

另外可以請高手解釋一下，
一組矩陣經過相似變換後竟然又能夠靠著原始矩陣透過旋轉方式來表達出來
我線代的知識背景不知道怎麼解釋這個現象，
可以請強者詳細說明一下這個的美麗結果嗎？

如果今天給定一個B，
應該要怎麼找另外一個矩陣C，
使得R^T B R = B和C的線性組合？
C有nontrivial的不同選擇嗎？

雖然問題看起來很長，
但是我花了相當的時間化簡整理，
希望強者能抽空解答我心中的疑問，感謝！

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→ Lanjaja     : 可能有不同角度看這一套關係式，歡迎提出各種不同的
→ Lanjaja     : 見解，謝謝各位強者
推 firstshiva  : 你把我的推文看懂就沒這些疑問了
→ Vulpix      : A_1=I是自己一個人一組。A_2是旋轉矩陣當然
→ Vulpix      : 跟R commute。A_3和A_4是翻轉矩陣，或者你看成Pauli
→ Vulpix      : 矩陣，那他們有這樣的線性關係應該不是什麼怪事。
推 wohtp       : 看起來就SU(2) adjoint rep的旋轉而已吧
→ wohtp       : 昨天就跟你說，量力裡面長那樣的關係式，R和B作用的
→ wohtp       : 對象應該是不一樣的
→ wohtp       : 簡單的說，「旋轉」本身可以用旋轉軸這個向量來描述
→ Lanjaja     : 請問用旋轉軸向量來描述是什麼意思?
推 Vulpix      : 指用旋轉軸的方向為方向、旋轉的角度為大小的向量。
→ Vulpix      : 其中方向一般會讓它滿足右手定則。
→ Lanjaja     : 可是我還是不知道怎麼對應到旋轉軸 最後的CS是兩倍
→ Lanjaja     : 的角度，不是一開始的c,s的一倍角度，我不知道怎麼
→ Lanjaja     : 釋，能不能請V大w大用符號運算表達出來呢? 謝謝