[其他] 平面點輻射源如何排列可使輻射量較平均？

[khara (高陽酒徒)]

假設我在某個有限的空間平面上有一堆點輻射源可排置，
怎樣可以讓平面上的輻射量相對「均勻」且平均接近 1？
（順便問一下怎樣可以給個較好的均勻的定義？
　直覺來說，就是希望輻射量最高的點與最低的點差距不太大。）


（平面有限空間內可放置許多點輻射源）
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另外以下幾點也用以簡化問題：

a) 點輻射源不耗竭，由該點向外均勻等速散出
b) 其輻射力在距離上以線性方式遞減至0爲止
c) 平面各點的輻射力以線性方式疊加
d) 每個點輻射源在該點散出 1 單位，至半徑 1 處減爲 0
e) 雖說我的點輻射源不限量，但由於目標是平均 1，
 　故不可放置無限多個（某種意義上是「最」均勻？）。

一維圖示：設有 A、B 兩個點輻射源

A     　　　　　　　 B
‧ → → → → → → ‧
   ← ← ← ← ← ←
 1 0.8  0.6  0.4 0.2  0 （A點散射線性遞減至B爲0）
 　0.2  0.4  0.6 0.8  1 （B點散射線性遞減至A爲0）
 1　1　  1　  1 　1 　1
（這條直線上各點疊加後輻射量皆1）
http://imgur.com/pdtST1N


以下例圖。
http://imgur.com/mksyFNq

假設各輻射源彼此間以正三角形方式排列，
輻射遞減由該輻射源爲 1 出發，至下一個減到 0，
那麼中間某點會受到周圍四個輻射源影響而得的疊加。
疊加量可以用正三角形邊長比計算出來。


http://imgur.com/s8flZ4Z
直覺上來說，
點與點間呈正三角形的堆疊法似乎最均勻？
但有辦法給個好的均勻的定義且證明之嗎？

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Immer mit den einfachsten Beispielen anfangen.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　David Hilbert

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.35.40
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※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 06:40:32
→ Desperato   : 如果只是給定義的話 用標準差怎麼樣 越小的越均勻
感謝！
那麼能否證明哪種排法標準差最小呢？
※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 06:41:23
→ Desperato   : 當然不行啊 看起來好難www
→ Desperato   : 假設答案是週期排列可能會好一點 不過感覺還是很難
XDDD
感覺上很直覺的東西，真要做起來似乎很難呢！
由對稱性來想，
似乎以正多邊形排置最佳？
而正多邊形中又似乎是正三或正六最佳？
這個似乎用軟體模擬可得各種測試值，
可是真要證明起來卻是個累人的功夫。 QQ
※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 06:45:40
→ Desperato   : 我想到的是sphere packing 雖然可能和這無關
→ Desperato   : 就是把一堆球丟到平面上 最緊密的排列法
→ Desperato   : 印象中非常不好證明(還是我記錯了
對。
我想到的也是材料上的最密堆積。
感覺上會是個最有效率的手段。
其實也許不把他想像成點而改想成球會更好？ www
但想來證明不是很簡單。（排積木根本是智力測驗啊！）

另外有人說有個 Lloyd's algorithm，
也不知是怎麼用……
※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 06:51:02
→ Desperato   : 如果是正三角形排法 那距離大概是
→ Desperato   : sqrt(2pi/sqrt(27)) ~ 1.1 左右
→ Desperato   : 平均會是exactly 1 標準差懶的算(?
→ Desperato   : 我覺得正方形或長方形可以考慮
→ Desperato   : 畢竟中間的地方 三角形的case會堆太多
→ Desperato   : 用軟體模擬應該會比直接證明快
→ Desperato   : 畢竟排列方式和 光源散布的函數 也有關係
→ Desperato   : (例如我原本以為是距離反比 仔細一看才發現是線性
其實通常的物理推測該是與 1/r 成正比沒錯。
只是這裡為了簡化問題而且避免點核無窮大的問題，
才把他當作線性希望好算些。

不過如果說正三角形會造成中間太強……
那麼我的直覺就錯了啊哈哈！XD
（不過我的直覺本來就常出錯）
※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 07:21:50