推 windgogoco : 所以如果是弧長的積分 就一定會是正的嗎 04/16 22:56
→ Vulpix : 函數是負的的時候，就負了啊。 04/16 23:09
推 windgogoco : 哦哦 感恩大大 04/17 00:29
※ 引述《windgogoco (囧令)》之銘言：
: 我對於線積分的方向性有很大的問題，在算題目的時候超級明顯
: 常常跟解答的差異就是在負號，有時候正確有時候差負號，這很煩
: 能否請教一下我的算式究竟在哪裡有問題
: 1.首先是一般的線積分
: http://imgur.com/a/rzjlh
: 第二題是我最有問題的，不是從二分之π到四分之π嗎，順序不是不能顛倒嗎
這一題你沒有按照定義算。
線積分的曲線要定義在[a,b]上，
寫下這個記號時，已經強迫a不能比b大。
那要怎麼修改才可以呢？
方法1：
將積分的黎曼和寫出來，
|v(t*)|Δt代表的是一小段「長度」，所以應該非負。
那麼積分區間就應該改成[π/4, π/2]。
方法2：
重新參數化曲線，這次試試看(2*sin(t), 2*cos(t))，
應該會得到正確的結果。
方法3：
如果覺得方法1太依賴直覺、方法2又要換方法太麻煩，
試試考慮本來的定義。
∫f(x,y)√[(dx)^2+(dy)^2]
= ∫f(x,y)√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2] *|dt|
π/4
= ∫ f(x(t),y(t))√4 *(-dt)
π/2
其實本質與方法1一模一樣，只是有個算式在看起來或許讓人更放心。
: 2.再來是向量場中的線積分
: http://imgur.com/a/PlzpL
: 這題因為前車之鑑，我就想說再倒一次改成由小到大，結果答案還是差負號...
這裡就是你的自作聰明了。
起點就是t=2，終點就是t=-1。
: 到底啥時應該要顛倒，啥時不用我被搞混了
: ※另外想再請問一下如果是封閉曲線內的線積分
: 順時針跟逆時針轉去積分會不會影響答案
其實這兩種線積分的定義說起來是有一點點差異。
1. ∫f(x,y)√[(dx)^2+(dy)^2] 這個是對「弧長」積分。
2. ∫F(x,y)．(dx,dy) 這個是對「位移」積分。
弧長不在乎路徑的方向，位移在起點終點對調時會差一個負號。
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※ 編輯: Vulpix (61.230.70.72), 04/15/2017 16:29:24