推 AHDAN123 : 請問一下Sigma f(k) = (1/6)π^2 = ζ(2)是怎麼來 04/17 13:17
→ AHDAN123 : 的？@@ 04/17 13:17
→ LPH66 : 樓上可 google「巴塞爾問題」 04/17 22:18
推 AHDAN123 : 好的! 謝謝你 04/17 23:09
※ 引述《AHDAN123 (系上邊緣肥醜宅)》之銘言：
: http://imgur.com/a/tI2di
: 抱歉照片解析度差
: 題目為f(r)=1 / r^2
: show that f(r)-f(r+1)= 2r+1 / r^2 x (r+1)^2 (這個沒問題)
: (i)
: N
: 算出 Σ 2r+1 / r^2 x (r+1)^2 = N(N+2)/(N+1)^2 (這個也沒問題)
: r=1
: (ii)
: 利用(i)的結果也算得出來
: (iii)
: 因為第1,3,5,...,奇數項是帶負號，我就卡關惹...
: 懇請高手解答，願奉上小弟身家約200多P給您
inf (-1)^(k+1) (2k + 1)
Sigma ---------------------
k=2 k^2 * (k + 1)^2
inf
= Sigm (-1)^(k+1)[f(k) - f(k + 1)]
k=2
inf inf
= - Sigma (-1)^k f(k) - Sigma (-1)^k f(k)
k=2 k=3
inf
= - 1/4 - 2Sigma (-1)^k f(k)
k=3
inf
因為Sigma f(k) = (1/6)π^2 = ζ(2)
k = 1
-1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 ...
= -[1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + ...] + (1/4)[ζ(2) - 1]
= -ζ(2) + 1 + (1/4)ζ(2) + (1/4)[ζ(2) - 1]
= -(1/2)ζ(2) + 3/4
所以原式
= -1/4 + ζ(2) - 3/2
= (1/6)π^2 - 7/4
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