[分析] (x^r)'=rx^(r-1) 論證問題

[znmkhxrw (QQ)]

記得大一微積分老師在證明x^r的微分是rx^(r-1)時

是從 (x^n)'    (x^(1/n))' x^(p/q)... 去推得：

for any r€R

f(x):= x^r：R^+ → R   is differentiable with f'(x) = rx^(r-1)


當時我沒注意到x^r的定義問題，就當作理所當然，沒考慮到像是pi^e這是啥鬼

最近自己建構一次指數函數也發現一些循環論證的毛病

比如想要證明從  lim (1+1/n)^n = c  到 lim (1+1/x)^x = c
               n→∞                 x→∞

後者根本沒定義，除非已經用其他方法建立出exp(x)了

若否 想要用 lim (1+x/n)^n = exp(x) 去建立出指數的過程中
           n→∞

當b不是有理數時 a^b 不可以跑出來
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回到原問題，我們知道指數的建構是由exp(x)而來 而exp(x)有很多等價定義

when a>0 , b€R

a^b := exp(b*ln(a))

所以 x^r的定義就是 exp(r*ln(x))

直接去微分然後代入 1.chain rule 2.exp(x)'=exp(x) 3.ln(x)' = 1/x

就可以得到 (x^r)'=rx^(r-1)


那老師原本那套流程是在證明什麼??

簡單說，x^r的定義就是exp(r*ln(x))，既然都"寫出來x^r"了

然後根據定義 就微分 結束


假如我邏輯是對的 老師也是對的 是卡在哪個重複定義的地方??

謝謝

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推 harry901    : 我都看的懂你說的  但是卻看不懂你問的  真顏汗
→ harry901    : 不過我的想法是  x^r 如果要從基本極限定義去推導
→ harry901    : 微分過程  會遇到(x+a)^r  這部份要打開來做
→ harry901    : 取e^ln(x)的作法  應該是等價關係
→ znmkhxrw    : 哈利耶 對呀就是照定義 可是x^r的定義已經是那樣
→ znmkhxrw    : 從這個定義(合成函數)要去做微分 就直接chain rule
→ znmkhxrw    : 還是說 老師那個流程也是對的 只是繞遠路?
推 harry901    : 如果是x^x呢?
微分是x^x(ln(x)+1) 哈力要問什麼??

推 PPguest     : x^s,s是實數時,如果用r是有理數,x^r的極限來定義,不
→ PPguest     : 知道這樣可不可行？
P大 如果老師當初是用x^(p/q)來定義x^r的話 這樣邏輯就說的過去了
只是這流程我沒跑過XD

推 jacky7987   : 我倒是沒有走過前面的方法欸XDDD
→ jacky7987   : 通常走第一條路我會用 s_n->r, s_n in Q 然後用
→ jacky7987   : x^r 是連續做
→ jacky7987   : 我猜可能會好用（？）雖然我沒有認真算XDD
→ jacky7987   : 我微積分數學e^(blog(x))的chain rule
我就是一直習以為常
直到昨天跑過一次流程才發現x^r的微分根本照定義就出來了

還是老師的方法是在不知道"exp與ln"的微分與 不知道"chain rule"狀態下去做的
年代久遠要翻塵封已久的筆記才知道XD

只是這是大一初微 我記得沒先說x^r的定義就先承認指數函數了
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.236.166), 04/20/2017 23:30:00
→ znmkhxrw    : 欸 還有j大你說的 x^r是連續做 阿還是需要定義x^r呀
推 jacky7987   : 很有道理，可能我睡太少了（欸
→ jacky7987   : 可能我想說的跟P大比較像XDD
推 Desperato   : x^r本來就有兩種定義方法 一個是exp(r logx)
→ Desperato   : 另一個是取sup x^q (q<r, q rational)
→ Desperato   : 定義了其中一個之後 可以證明另一個等式是對的
→ Desperato   : 不管是哪個 在有了實數的完備性之前都無法好好定義
推 harry901    : 看不懂你們說得  我會用就好  (逃跑
→ Desperato   : 簡單來說就是 2^sqrt(2) 從一開始就沒有定義啦
→ Desperato   : 連定義都沒有那要怎麼微分
推 arthurduh1  : 老師有從無理數次方推到實數次方嗎
→ arthurduh1  : 除了 x^x 那種, 初微一般比較不會用到實數次方
→ arthurduh1  : 而且一般處理 x^x 都有先取過 log, 問題就消失了
→ arthurduh1  : 當然初微有可能還是沒教實數完備性啦
→ arthurduh1  : 這部分就會有缺漏
→ Desperato   : 實數的完備性不是第0章會教的東西嗎
推 arthurduh1  : 我修的是有教, 不過不確定是不是普遍都有教
實數完備性在初微就已經設定為已知了吧??

先有實數完備性之後 才能定義無理數指數吧

有很多條等價路可以走 諸如D大說的 取sup x^q

或是研究 lim (1+x/n)^n (exp的其中一個等價定義)
        n→∞



會有這問題 起先只是好奇自己走一遍lim (1+x/n)^n
                                n→∞

推導一些收斂性與性質 證明過程寫到"a^b , b 實數"

忽然意識到 如果沒有exp 根本還不能寫出a^b b無理數

之後用夾擠避開了這個問題 也證出來exp(x) 然後也定義了指數函數a^b , a>0 ,b€R

然後突然想到x^r的微分 才會有這篇文章XD


目前推斷可能老師是採取 sup x^q這個定義

謝謝以上
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.236.166), 04/21/2017 01:32:18
推 Vulpix      : 其實，(sup x^q)'=sup (x^q)'也是需要證明的。
→ Vulpix      : 總覺得比起sup，還是寫lim好一點。