[分析] 萊布尼茲對積分做微分證明

[znmkhxrw (QQ)]

有關這個耳熟能詳的公式：

 d     b(z)              b(z)
── ∫     f(t,z) dt = ∫   f_z(t,z) dt + f(b(z),z)b'(z) - f(a(z),z)a'(z)
 dz    a(z)              a(z)

最快速的證明方法莫過於多變數的chain rule：

               y
令 F(x,y,z) = ∫ f(t,z) dt
               x

則所求 = dF(a(z),b(z),c(z)) / dz

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問題：應該有好幾年我都認為這樣

      但是今天檢查突然發現 chain rule前提要F(x,y,z)是可微分函數才可以這麼做

      而這件事情好像不顯然

去翻了Apostol 2nd Mathematical Analysis P.354 Theorem 12.8

http://i.imgur.com/8JiQQ3S.png

他也是直接說用chain rule 似乎"F(x,y,z)可微分"是很顯然的才沒提

所以是有很快速的看法??

我自己是有用"F的各階偏導存在且連續"來證明F的可微分性

                                                             y
而F_x(x,y,z) = f(x,z) , F_y(x,y,z) = -f(y,z) , F_z(x,y,z) = ∫ f_z(t,z) dt
                                                             x
前兩者連續是顯然的，第三個的連續性拆成三項也可以證出來

想請教版友們的看法是??


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推 jacky7987   : 他寫的不是跟你寫的一樣嗎@@
→ jacky7987   : 你的F就是他的G阿，他那句話是在說明文章中F就是
→ jacky7987   : G合成一些可以微分東西，剛好就是結果
→ znmkhxrw    : 我的問題是:G可微是基於什麼耶
推 harry901    : 沒看到G  抱歉我來亂的
推 jacky7987   : 就是你說的那樣，Apostol覺得是顯然
→ jacky7987   : 所以他下面才驗證了第一階偏導數，只是沒說明
推 jacky7987   : 如果是Rudin流派的話大概就只寫Consider G
→ jacky7987   : remianing is obvious
推 arthurduh1  : 這個脈絡的確有點毛病, 你用的那個是到 Thm. 12.11.
→ arthurduh1  : 才提出來的. 更之前所有的結果都是 assume 可微,
→ arthurduh1  : 所以也只有定義可以用來檢驗是否可微.
→ znmkhxrw    : 也是 後來我直接用定義做發現不難 或許apostol認為t
→ znmkhxrw    : rivial就沒題了 謝啦
→ znmkhxrw    : 呃 我發現我的作法其實就是12.11的證明= =
推 arthurduh1  : 不太意外@@ 沒發現積分有什麼特別的性質可用在這裡