推 harry901 : 那邊是課本題目內要證明充要條件 05/05 14:43
推 jacky7987 : 應該是相等的話若且唯若平行吧 05/05 17:49
令 <V,F> 為佈於field F的內積空間 F=Real or Complex
(如果沒學過廣義向量空間 就當作V=R^n, F=R)
則可以證明對於任何x,y€V
(1) ║x+y║^2 + ║x-y║^2 = 2(║x║^2 +║y║^2) -- 平行四邊形法則
(2) │<x,y>│≦║x║║y║
Moreover, "=" holds if and only if x = cy for some c€F -- 柯西不等式
(3) ║x+y║≦║x║+║y║
Moreover, "=" holds if and only if x = cy for some c≧0 -- 三角不等式
其中(1),(2)是獨立證出來的，然後利用(2)去證明(3)
再來看你的問題
: 若F,G在R^n內 試著證明 ||F+G|| <= ||F|| + ||G||
: 且其充要條件為||F+G|| = ||F|| + ||G||
這邊好奇怪 ||F+G|| <= ||F|| + ||G||的充要條件是||F+G|| = ||F|| + ||G|| ??
: 課本是先從R^3證明 ||F+G||^2 + ||F-G||^2 = 2(||F||^2 + ||G||^2)
課本從R^3的平行四邊形定理證出
"||F+G|| <= ||F|| + ||G||的充要條件是||F+G|| = ||F|| + ||G||" ??
: 可是不知道為什麼可以直接說明R^n也可以 課本沒說 QQ
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