Re: [中學] 估計橢圓周長

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 定理：已知周長一樣的簡單封閉圖形中，圓的面積最大。
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: 一橢圓長軸半長為 a ，短軸半長為 b，試利用上述定理證明橢圓的周長大於 (a+b)π

以 L 和 A 分別代表封閉圖形的周長和面積，則上述定理可表為：

        A ≦ π*(L/2π)^2

即      4πA ≦ L^2

考慮如下封閉圖形：

x^2/P + y^2/Q = 1

其中 P = [ a^2 + b^2 + ( a^2 - b^2 )*sgn(x) ]/2

     Q = [ a^2 + b^2 + ( a^2 - b^2 )*sgn(y) ]/2

那這條曲線在第一象限是半徑為 a 的1/4圓弧
          在第三象限是半徑為 b 的1/4圓弧
          在第二、四象限是1/4橢圓（長軸半長為 a ，短軸半長為 b ）

L = 橢圓周長/2 + πa/2 + πb/2

A = πab/2 + πa^2/4 + πb^2/4

由前述定理，

4π*( πab/2 + πa^2/4 + πb^2/4 ) ≦ ( 橢圓周長/2 + πa/2 + πb/2 )^2

整理得

橢圓周長 ≧ π(a+b)

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推 Panthalassa : 真漂亮
推 yyc2008     : 謝謝
推 hau         : 謝謝！！
→ yyc2008     : 可是四段能夠互相接起來嗎? 不會有水平 垂直線? 如
→ yyc2008     : 果有的話 那也算是周長的一部分吧? 而且這種有凹的
→ yyc2008     : 可以算是簡單圖形? 有點好奇
推 LPH66       : 沒有凹啊? 你怎麼畫的?
→ yyc2008     : 喔喔  我現在看出來了
推 LPH66       : 這圖形是類似這樣 http://i.imgur.com/TAsOqNp.png
→ LPH66       : 紅圈是這圖形, 虛線是兩個橢圓
推 Desperato   : 好噁心啊wwwww 推推
推 ERT312      : 推
推 G41271      : 厲害!
→ Vulpix      : 簡單應該是指不自交之類的情況，即使有凹也沒關係。