推 AmadeusTsou : 謝謝大大熱心回答!! 05/09 01:14
※ 引述《AmadeusTsou ()》之銘言：
: 板上的各位大大好
: 想請教一個高中數學的觀念
: http://imgur.com/a/ZludW
: 我記得以前高中老師有講過這件事
: 就是兩個直線相乘等於一個定值
: 可以直接看出該雙曲線的漸近線和共軛雙曲線
: 但是我回去翻講義沒有看到證明Orz
: 想請問板上有沒有大大可以協助解釋
: 謝謝！
a_1 : a_2 =/= b_2 : b_2
a_1a_2x^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)xy + b_1b_2y^2 + dx + ey + f = k
(a_1b_2 + a_2b_1)^2 - 4a_1a_2b_1b_2
= (a_1b_2)^2 + (a_2b_1)^2 - 2a_1a_2b_1b_2
= [a_1b_2 - a_2b_1]^2 > 0
=> Γ為雙曲線
平移後[a_1x' + b_1y'][a_2x' + b_2y'] = k
旋轉後a'x"^2 + c'y"^2 = k
-a'c' > 0 => a', c'異號
改寫a' = 1 / |A|^2
c' = 1 / |C|^2
[x / |A|]^2 - [y / |C|]^2 = +k or -k
雙曲線漸近線你可以用微積分的方法算出
但是高中只要以標準式的基礎出發
x / |A| + y / |C| = 0
x / |A| - y / |C| = 0
即[x / |A|]^2 - [y / |C|]^2 = 0
由前述過程知k不變
可反推回[a_1x + b_1y + c_1][a_2x + b_2y + c_2] = 0為兩條雙曲線
同理共軛雙曲線為
[x / |A|]^2 - [y / |C|]^2 = -k or +k
可反推回[a_1x + b_1y + c_1][a_2x + b_2y + c_2] = -k為共軛雙曲線
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