[分析] 黎曼積分的MCT到BCT

[znmkhxrw (QQ)]

之前問的那篇其實是為了這個問題XD
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問題：(下面的積分是黎曼積分)

【MCT】

if f_n↘0 on [a,b] and f_n(x) is Riemann integrable on [a,b] for all n

            b
then lim   ∫ f_n(x) dx = 0
     n→∞  a

【BCT】 又稱為Arzela's Dominated Convergence Theorem

if f_n→f on [a,b] and f_n(x), f(x) are Riemann integrable on [a,b] for all n

and │f_n(x)│≦ M for all x and n

            b              b
then lim   ∫ f_n(x) dx = ∫ f(x) dx
     n→∞  a              a


能否從【MCT】推得【BCT】

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來龍去脈：

(1)

我一開始是在這篇paper  https://goo.gl/Kt02Ig 的Theorem 1 下方看到那句

"An important step in the proof of this result is the Monotone Convergence
Theorem"

也就是說，他確實認證【MCT】可以推得【BCT】

但是他這篇是在證明MCT

因此我去找一堆證明黎曼積分BCT的文章 發現證明過程

不是 "沒用到MCT" 就是 "用下達布積分的MCT"

【MCT of Lower Darboux Integral】(2.2) Lemma, Page 973, https://goo.gl/oHRNYu

if f_n↘0 on [a,b] and f_n(x) is bounded on [a,b] for all n (不用一致有界)

             b
then lim   ∫  f_n(x) dx = 0
     n→∞ ￣a

(2)

我仿造Zygmund中證明Lebesgue積分BCT的邏輯

回憶一下邏輯是： MCT→Fatous lemma→LDCT(finite measure就是BCT了)

因此，我也嘗試用這套邏輯去證明黎曼積分的BCT

但是 黎曼積分的MCT無法證出黎曼積分版本的Fatous lemma

反而 下達布積分的MCT才能證出黎曼積分版本的Fatous lemma

原因正是出在即便f_n(x)是黎曼可積，m_n(x):= inf  f_k(x) 不一定是黎曼可積
                                           k>=n

而下達布積分MCT正因只需要bounded就會推得達布積分存在所以沒問題

順帶一提這個問題Lebesgue積分不會遇到，因為m_n(x)自動會是Lebesgue可積

(3)

總之 我check過：(以下是黎曼積分版本)

下達布積分MCT => Fatous lemma => BCT

     ∥
     Ｖ
    MCT


也就是說下達布積分MCT比MCT強

這也是我為什麼好奇真的有辦法從MCT證BCT嗎
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寄信給作者被退信QQ 他2011年的yahoo信箱已經失效

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.237.188
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1494229977.A.018.html
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.237.188), 05/08/2017 15:56:50
→ Desperato   : 達布是Darboux嗎 Darboux和Riemann積分不是等價嘛
f在[a,b]有上下界就能推得f的上下達布積分存在

然後有：上下達布相等 iff 黎曼可積
→ Desperato   : 等等 為什麼不能設 g_n(x) = f_n(x) - f(x)
這樣g_n(x)不是單調呀 會不能用MCT
→ Desperato   : lim int f_n-f dx = lim int f_n dx - int f dx
→ Desperato   : 噢噢對耶
→ Desperato   : 那能加絕對值嗎
→ Desperato   : 好像不行 好麻煩R
有人是直接證：(*)

if g_n→0 on [a,b] and f_n(x) is Riemann integrable on [a,b] for all n

and 0≦g_n(x)≦ M

            b
then lim   ∫ g_n(x) dx = 0
     n→∞  a

然後用以上定理去證明BCT

過程就是D大你說的 令g_n(x) = │f_n(x)-f(x)│ 就結束了

關鍵當然就是(*)證明 也是一卡車
→ Desperato   : 不對 可以吧 加絕對值之後整理一下會有問題嗎
→ Desperato   : 對分析不是很熟練QW Q
整理是要整理成什麼形式?? 有辦法整理出單調性然後用MCT ??
→ Desperato   : 會一卡車嗎 不是把g_n truncate一下變遞減嗎
→ Desperato   : 不對 truncate好像沒這麼簡單...
https://goo.gl/CukZ9I

這個網站是(*)的詳細過程

不過跟我的問題無關拉XDD

我care的是那篇作者說的可以用MCT推到BCT 到底怎麼推QQ
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.237.188), 05/08/2017 16:15:59
→ Desperato   : 噢不這個麻煩好多WWW 真的會很麻煩
→ Desperato   : 算了我不管了(ry 你說的很有道理ow o
有版友幫我找到有效信箱了 也寄給作者看他能不能跟我說XD 謝謝
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.237.188), 05/08/2017 16:16:47