[分析] f_n↘0 =?> ∫f_n↘0

[znmkhxrw (QQ)]

<Monotone Convergence Theorem for Lower Darboux integral>

If f_n(x) is bounded on [a,b] for all n

and f_n(x)↘ 0 for all x€[a,b]

       b
Then ∫  f_n(x) dx ↘ 0
     ￣a


我想問 對於Upper Darboux integral的反例是？

也就是說 是否存在

f_n(x) is bounded on [a,b] for all n

f_n(x)↘ 0 for all x€[a,b]

    ╴b
But ∫  f_n(x) dx ↘ m > 0
      a
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試著去對[0,1]造反例 想要造出任何[0,1]的子區間都有一段sup為1的函數

但是又要符合遞減到0 失敗QQ

然後反例一定要是 f_n(x) 不黎曼可積 for all n >= N

若黎曼可積就不會是反例
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※ 編輯: znmkhxrw (111.255.238.189), 05/10/2017 21:58:15
推 arthurduh1  : 一樣從 Dirichlet 那個 有理數→1, 無理數→0
→ arthurduh1  : 的函數去變化就行. f_n 讓最簡的分母<=n 的也→0
→ znmkhxrw    : 有f_n(x)詳細嗎 我失敗是去設f_n(x)=1/n x有理
→ arthurduh1  : f_n(x) = 1, if x=a/b (最簡), where b>n;
→ arthurduh1  :        = 0, o.w.
→ znmkhxrw    : a大這個函數你怎麼想到的@@ 我剛剛花一些時間check
→ znmkhxrw    : 才確定都符合條件  好特殊阿
→ arthurduh1  : 就想辦法在滿足任何子區間都有 1 的條件下, 讓那個
→ arthurduh1  : 函數漸漸變成零函數. 大概是這樣吧@@
→ arthurduh1  : 本來只分有理/無理, 進一步把有理部分照分母再細分.
→ arthurduh1  : 照這個方向就能做出滿多變形了. e.g. f(x)=1/b 那些
→ znmkhxrw    : 我就是想要每個子區間都有1可是壓不到0函數XDD
→ znmkhxrw    : 這函數真的很酷 謝謝你囉^^