Re: [分析] 三角積分與對數的極限

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《BanachTarski (BanachTarski)》之銘言：
: 小弟有一題習題一直想不出來
: 上來求救 感謝各路大神QQ
: Prove the following statement and find the value of the constant C
: π
:   | sin(nx) |
: ∫|---------| dx ≒ C ln(n)  as n→∞
:   |    x    |
: -π

C = 4/π

原問題應該改成「左式/ln(n)→C as n→∞」

因為左右式之間的差距應該不太容易算出來


左式 = 2*∫_{0}^{π} |sin(nx)|/x dx

     = 2*∫_{0}^{nπ} |sin(u)|/u du     ( u = nx )

令 a_n = ∫_{(n-1)π}^{nπ} |sin(u)|/u du

       = ∫_{0}^{π} sin(u)/[u+(n-1)π] du

僅考慮 n > 1，

∫_{0}^{π} sin(u)/nπ du < a_n < ∫_{0}^{π} sin(u)/(n-1)π du

即 2/nπ < a_n < 2/(n-1)π

至於 a_1 = ∫_{0}^{π} sin(u)/u du 也有限

左式 = 2*Σ_{k=1}^{n} a_k ~ (4/π)*ln(n)

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→ yyc2008     : ∫_{0}^{π} sin(u)/(n-1)π du < a_n < ∫_{0}^{π
→ yyc2008     : 這一行需要解釋一下 怎麼肯定成立?
→ yyc2008     : 而且下界是不是1/nπ，不過我看不懂拆絕對值那裏 請
→ yyc2008     : V大再解釋詳細一點 謝謝
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 05/17/2017 21:47:26
推 Desperato   : 推
推 BanachTarski: 感謝V大的解答！
→ yyc2008     : a_n的定義 |sin[u+(n-1)π]|不見得一定等於sinu
→ Vulpix      : 中間還差一個變數變換，你自己做做看……