[微積] 極限的唯一性

[atxp4869 (雅妍美學)]

關於極限的唯一性，採取的方法是L不等於M，即假設ε=(L-M)/2

於是產生下圖：
http://i.imgur.com/v9eh2Dz.jpg

小弟對於ε=(L-M)/2 有一點意見，是什麼樣的意見等下敘述


而極限有兩個的話，|f(x)-L|<ε與|f(x)-M|<ε必會同時成立

也因此產生兩組δ的解集合，先稱為δ1與δ2  因為這兩個δ都是以同一點為圓心，先稱
為C點

故必有交集，交集是min(δ1,δ2)

所以挑Xo一個在0<|Xo-c|<min(δ1,δ2)  丟到Y軸上 能在Y軸上找到一個點

滿足|f(x)-L|<ε與|f(x)-M|<ε，則極限有兩個。

所以問題來了，我在一開始就假設ε=(L-M)/2

早就斷了同時滿足|f(x)-L|<ε與|f(x)-M|<ε兩式的可能性

在一開始假設不可能的狀況，去證明事情不可能發生

就像我說箱子裡有紅球跟綠球，紅球十顆綠球零顆，請證明抽中綠球的機率是零

如果ε>(L-M)/2就會使L與M區間有交集，如下圖

http://i.imgur.com/nFD4Luc.jpg

這樣在0<|Xo-c|<min(δ1,δ2)裡的X，就可能可以使f(x)落在圖裡Y軸的交集裡

於是滿足|f(x)-L|<ε與|f(x)-M|<ε，兩個極限均存在，我知道不可能是這結論

我是想問為何不能假設ε>(L-M)/2

謝謝各位先進的熱心

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推 ddxu2       : 極限的定義是要對任意的ε都存在對應的區間。只要能
→ ddxu2       : 找到一組ε導致矛盾，就表示原本假設極限趨近兩個數
→ ddxu2       : 是錯誤的。
→ ddxu2       : 你可以想想，證明極限的值是多少時，我們是「對所有
→ ddxu2       : 的ε大於0」；但要證明極限不等於某個數，我們只要
→ ddxu2       : 「找出一個ε」，並且發現對這個ε而言，任意的區間
→ ddxu2       : 中都會有一個點送到ε的範圍以外。
→ ddxu2       : 「對所有*皆成立」敘述的反面（補集）是「存在有*不
→ ddxu2       : 成立」
→ Desperato   : 假設誰都可以 但是找到一組反例就做完了
→ Desperato   : 那當然是直攻一臉矛盾的那個啊
推 znmkhxrw    : 一臉矛盾的那個XDD
→ Vulpix      : 我覺得「極限有兩個」也是很有問題的假設啊……
→ Vulpix      : 不是沒有大於(L-M)/2的ε，而是這麼普通的ε長得不
→ Vulpix      : 夠矛盾，等他再小一點、成熟了就會長成一臉矛盾貌。
推 arthurduh1  : 實際上的假設只有一個, 就是「極限有兩個」.
→ arthurduh1  : ε的假設是由極限的定義所賦予你的權利, 無法推翻.
→ yyc2008     : 極限有兩個 還會以同一個點為圓心? 自相矛盾