作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
標題Re: [分析] 黎曼積分的MCT到BCT
時間Sun May 21 14:57:58 2017
保留定理內容：
【MCT】
if f_n↘0 on [a,b] and f_n(x) is Riemann integrable on [a,b] for all n
b
then lim ∫ f_n(x) dx = 0
n→∞ a
【BCT】 又稱為Arzela's Dominated Convergence Theorem
if f_n→f on [a,b] and f_n(x), f(x) are Riemann integrable on [a,b] for all n
and │f_n(x)│≦ M for all x and n
b b
then lim ∫ f_n(x) dx = ∫ f(x) dx
n→∞ a a
【MCT of Lower Darboux Integral】
if f_n↘0 on [a,b] and f_n(x) is bounded on [a,b] for all n (不用一致有界)
b
then lim ∫ f_n(x) dx = 0
n→∞ ￣a
我們來證明 MCT => MCT of Lower Darboux Integral
取gn<=fn 為step function 使得 fn之下積分 <= 積分 gn + epsilon_n
其中epsilon_n >0 待定。
定義 hn = min{g1,...,gn}
則
利用恆等式 min{a,b}= a+b - max{a,b} 得
fn - hn = fn - gn + [max{h(n-1),gn}- h(n-1)]
兩邊取下積分
下積分 fn - 積分hn = 下積分fn - 積分 gn + [積分 max{h(n-1),gn}-積分 h(n-1)]
<= epsilon_n + [積分 max{h(n-1),gn} - 積分h(n-1)]
<= epsilon_n + [下積分 f(n-1) - 積分 h(n-1)]
<=...(歸納法) <= epsilon_n+epsilon_(n-1)+...+epsilon_1 < epsilson
(本段修正，要這樣估計才可以)
最後一個不等號只要取 epsilon_n = epsilon/2^n 即可。
我們得到 下積分 fn<= 積分hn + epsilon
由構造可得 hn可積分且遞減至0，可使用MCT
limsup 下積分fn<= epsilon
上式對任意epsilon>0均成立，故lim 下積分 fn=0。
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中 最 連 緊 閉 開
值 大 通 緻 集 集
在 最 到 映 返 返
中 小 連 緊 閉 開
間 值 通 緻 集 集
。 ， 。 ， ； ，
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1495349907.A.A23.html
推 znmkhxrw : 嗨L大 這脈絡：【MCT】→【MCT for lower Darb】→ 05/22 01:12
→ znmkhxrw : 【BCT】 是你想的還是當初就是這樣證?? 05/22 01:13
→ znmkhxrw : (以下簡稱下達布積分的MCT為 MCTLD) 05/22 01:13
→ znmkhxrw : 我之前找的參考資料在證MCTLD時 就是用你這個方法 05/22 01:14
→ znmkhxrw : 只是他g_n做成連續的 所以h_n也會跟著連續 05/22 01:14
→ znmkhxrw : 之後用Dini定理去說明h_n均勻收斂 因此極限可搬入 05/22 01:15
→ znmkhxrw : 如此一來就不用用到MCT 05/22 01:16
→ znmkhxrw : 總之 當初脈絡如果是MCT→MCTLD→BCT 感覺在繞路 05/22 01:16
→ znmkhxrw : 因為MCT本身就難證了 而MCTLD直接推得MCT 05/22 01:17
→ znmkhxrw : 而直接證明MCTLD用的方法跟"證明MCT→MCTLD"差不多 05/22 01:18
→ znmkhxrw : 那直接就推出MCTLD就好 05/22 01:20
我是看你前面寫的之後想 MCT => MCTLD
不過後來也想到用連續函數+Dini繞過MCT
所以好像就不用這樣走了
而且這樣看起來這個證明也沒有很長
※ 編輯: LimSinE (219.85.167.243), 05/22/2017 20:02:55
推 znmkhxrw : 是阿 蠻多MCT的證明方法都需要用到測度概念 05/22 22:38
→ znmkhxrw : 甚至還找到一篇用到lebesgue定理 05/22 22:38
推 znmkhxrw : 我查到的那篇是 MCTLD→BCT→Fatous lemma 05/22 22:47
→ znmkhxrw : 不過我整理起來後 MCTLD→Fatous→BCT 這樣比較順XD 05/22 22:47
→ znmkhxrw : 然後"MCTLD→MCT"算是一個小note這樣 05/22 22:48
→ LimSinE : 是說也不知道為什麼要逃避測度觀念... 05/22 23:40
推 znmkhxrw : 也不算逃避拉 教的時候算多一種選擇 05/22 23:44
※ 編輯: LimSinE (61.64.210.35), 06/01/2017 20:47:04