Re: [中學] 二階方陣與線性變換

[Honor1984 (喬祺對我如此狠)]

※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: 平面上有L1：2x-y+3 = 0，經過A的二階方陣轉換後，會變成L2：3x-7y+15 = 0
: 則二階方陣A為何?
:           --    --
: 答案：A = |  1   3|
:           | -1   2|
:           --    --
: 我的想法是先找出L1和L2的交點(-6/11, 21/11)經過A轉換不變
: 再由L1上找點(-3/2, 0)與(0, 3)經過A轉換後，代入L2再解聯立
: 可是找不到正確答案，再請版上高手指教，謝謝!

應有無窮多組解

A = [a  b]
    [c  d]

C_1 = (a, c)

C_2 = (b, d)

k = (3, -7)

過L_1的有(0, 3), (-1, 1)

X' = AX

k * 3C_2 = -15 => k * C_2 = -5

k * (-C_1 + C_2) = -15 => k * C_1 = 10

只要滿足上式的a, b, c, d皆可為解

除了解答以外的矩陣

例如[10/3  2/3]
    [  0    1 ]

也是一個解

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.56.10.112
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推 Intercome   : 原來如此 所以這題題目出錯啦
推 LPH66       : 原 PO 你原先的想法裡「(-6/11,21/11) 轉換後不變」
→ LPH66       : 這句話是錯的, 我們只知道這條直線轉換後是那條直線
→ LPH66       : 但並不代表這一點會定點
→ LPH66       : 事實上如果我沒弄錯的話, 所有解裡這點都不會定點
→ Intercome   : 我原本想說原點的線性轉換還是原點
→ Intercome   : 所以兩線焦點的線性轉換應該會不變才對
→ yyc2008     : 原點的線性變換還是原點沒錯 只是這題交點已非原點
推 LPH66       : 唔, 拿紙筆算了一下好像有個特定解也會定該點
→ LPH66       : 不過這樣就是說你這個想法變成多加了一個條件
→ LPH66       : 總之我要說的是一般說來那句話並不成立這樣而已
推 JI1         : 我不入地獄,誰入地獄
推 Intercome   : 想問一下"k = (3, -7)"這怎麼來的?
推 Vulpix      : 只要滿足 [3 -7]*A = [10 -5] 的矩陣 A 都可以。
推 LPH66       : (3,-7) 就是 L2 的係數, 下半段就是變換後代入 L2