[分析] 黎曼積分P與δ等價定義

[znmkhxrw (QQ)]

這個問題之前覺得idea沒問題就沒仔細寫了

今天心血來潮寫寫看發現問題大了QQ

--------------------------------------

Let f be bounded on [a,b]

<Def1> f€R[a,b]_P

       if there exists a real number A

       s.t. for all ε>0, there exists a partition P_ε

       s.t. │R(f,P)-A│<ε for any P finer than P_ε and t_i€[x_(i-1),x_i]

<Def2> f€R[a,b]_δ

       if there exists a real number A

       s.t. for all ε>0, there exists δ_ε>0

       s.t. │R(f,P)-A│<ε for any ║P║<δ_ε and t_i€[x_(i-1),x_i]


很明顯的<Def2> implies <Def1> with the same integral

我有問題的是Apostol證明"<Def1> implies <Def2>"的過程

書上如此寫：http://imgur.com/EvyGzqn

我理解沒錯的話，他依據P中分割點{y_i}與P_ε中分割點{x_j}的分布位置，

把U(f,P) 拆成S_1 與 S_2(詳上圖)，然後S_1用U(f,P_ε)控制，S_2用取的δ_ε控制

可是，問題來了，S_1≦U(f,P_ε)這項要成立需要

"for each j, [x_(j-1),x_j] includes at least one [y_(i-1),y_i]"

因為f不一定是正的，如果某個[x_(j-1),x_j]沒涵蓋任何[y_(i-1),y_i]，這樣小不過去


以圖形來說如果P與P_ε長得像以下的(a)就行得通，但是(b)或是(c)就無法

(a)

   ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
   a   y_1 y_2 x_1 y_3 y_4 x_2 ..   b
 =x_0                              =x_n
 =y_0                              =y_m

(b)

   ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
   a   y_1 x_1 x_2 y_2 ...          b
 =x_0                              =x_n
 =y_0                              =y_m

(c)

   ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
   a   y_1 x_1 y_2 x_2 ...          b
 =x_0                              =x_n
 =y_0                              =y_m


而書上設的║P║<δ_ε:=ε/(2MN)，並無法保證(b),(c)不會發生

因此，問題即：書上這個證明是對的嗎？若是的話如何解釋我的疑問？

謝謝

-------------------------------------------------------

P.S.

(1) 其實我對於他S_1的取法也有異議，他寫S_1是那一些沒包到x_j的[y_(i-1),y_i]

但如果是x_j剛好在邊界點，依照這個敘述是不算在S_1的，因此每個x_j可能同時是

[y_(i-1),y_i]的右端點與[y_i,y_(i+1)]的左端點，如此一來書上寫的S_2≦NM║P║

應該把N改成2N (N是分割點數量)

不過這問題無傷大雅，所以沒在上面提

(2) 我自己修正後取δ_ε:= min{ε/(2MN), 【P_ε】/2} 即可解決問題

其中【P_ε】:= min{x_i-x_(i-1)│i=1~n}，分割區間的最小值

這樣的設定可以讓問題說的(b)與(c)不會發生
(【P_ε】確保(b)不發生但(c)還是有可能，【P_ε】/2就可以確保兩者不可能發生)

(3) 2017/05/25 PM9:33

    突然發現...即便是(a)，如果f在[a,x_1]是負的，S_1好像也不會≦U(f,P_ε)...

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.21.249
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1495714863.A.8DA.html

※ 編輯: znmkhxrw (111.255.21.249), 05/25/2017 21:34:36
推 arthurduh1  : 你好像搞反了, S_1 是加總 P 的 y_i 那部分哦
→ arthurduh1  : S_1 是收集那些沒有包含任何 x_j 的 [y_i, y_{i+1}]
→ arthurduh1  : 你的 (b), (c) 有包含 x_j, 不會被算到 S_1 裡面.
→ arthurduh1  :              ^ 裡面的 [y_1, y_2]
a大我沒有搞錯呀 你寫的跟我寫的一樣

(b),(c)裡面的[y_1,y_2]有包含x_j 確實不會被算到S_1

如此一來 為何S_1≦U(f,P_ε)這項還是成立

以(b)來舉例

   ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤
   a   y_1 x_1 x_2 y_2 ...          b
 =x_0                              =x_n
 =y_0                              =y_m


既然[y_1,y_2]被算到S_2了，那S_1中誰來小於U(f,[x_1,x_2])

這也是我為什麼想要要求任何相鄰x點間都要夾有y區間
----------------------------------------------

寫成這樣或許比較好比：

            n
U(f,P_ε) = Σ U(f,[x_(j-1),x_j])
           j=1

where U(f,[x_(j-1),x_j]):=      sup f    (x_j-x_(j-1))
                           [x_(j-1),x_j]

因此對於每個j，必須能從S_1找到至少一個[y_(i-1),y_i] included by [x_(j-1),x_j]

才能有

       Σ               U(f,[y_(i-1),y_i])
{those i s.t.[y_(i-1),y_i] included by [x_(j-1),x_j]}

       ≦U(f,[x_(j-1),x_j])

謝謝回覆(‧^ω^‧)
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.21.249), 05/25/2017 22:59:32
→ arthurduh1  : 哦哦 了解問題了
→ znmkhxrw    : 剛剛跟朋友問這題 他說他跟老闆之前討論確實有問題
→ znmkhxrw    : 讓我舒服了一下XD 只是因為是經典書 不太可能錯
→ znmkhxrw    : 才會上來問QQ
→ arthurduh1  : 明天再來查一下前後的脈絡@@
推 yjocho61    : 對於P.S.(3)的問題，可改成試證S_1≦U(f,P_ε)+ε